590. 591. peut regarder pendant le calcul comme rectangle en Z, puis V 4rr-xx V4rr-xx 4rr xx; Enfin fi l'on prend l'arc Rr infiniment petit, & que du FIG. XLI. centre. O on mene les deux fecantes O RN, Orn à la tangente en N, & qu'on tire du centre O avec le rayon On L'arc ng, en nommant le rayon De (r), la tangente e N (x), Nn fera dx; la fecante ON fera =√ rr+ xx, fa difference qN.fera & les triangles femblables Oe N, Nqn, = xdx Vrr+ xx rectangles en e & en q, donneront ON (Vrr+xx). Oe(r) :: d. C'eft encore l'élement du quart de circonference, 2°. L'element de la parabole. SUPPOSANT que ACc eft une parabole dont l'axe eft AB(x); FIG. XLII. Vpx+4xx, & divifant par x): = pdx+4x4x. L'une & l'autre 2 px+4xx expreffion eft l'élement d'un arc de parabole dont la coupée est x. 3°. L'élement des paraboles de tous les degrés, & des hyperboles de tous les degrés par raport aux afymptotes. 2m m 2m-2 mm 592. L'EQUATION "1y reprefente les paraboles de tous les degrés quand l'expofant m eft un nombre pofitif entier ou rompu, & les hyperboles de tous les degrés par raport aux afymptotes quand l'expofant m eft négatif. On prend l'unité 550. pour le parametre, afin d'abreger le calcul. On trouvera* que la foutangente est= est=x, 1/1x, & que la tangente =√1xx+yy (en mettant x2 au lieu de yy) √1 + mmx2 2. L'on aura donc (à caufe des triangles femblables TBC, Cdc, BT ( — x) .CT ( xvI+m2x2-2):: Cd (dx). Cc (du)=dxvI+m2x2TM C'est l'élement de toutes les paraboles & hyperboles ; il n'y aura qu'à fubftituer au lieu de m l'expofant particulier de chacune de ces courbes; par exemple pour la feconde para. bole cubique, m; l'équation x m= x=1y fera x3=1yy, & du = 1 dx √4+9x. On peut changer par la multiplication l'expreffion generale du dx Vi+m2x2 en ces deux autres = équivalentes du dx √. 1·xx + m2x2 2m-2 2m-2 i du xV1xx + m2x2m REMARQUE.. 1593. QUAND on peut trouver l'integrale de l'élement d'une courbe, cette courbe peut être rectifiée; mais on ne connoît pas encore la rectification de celles qui ont des éleméns dont on n'a pas pu trouver les integrales; la circonference & les arcs de circonference, la parabole du premier genre, l'ellipfe & l'hyperbole font de la derniere forte, auffi - bien qu'un très-grand nombre de courbes plus compofées geometriques & méchaniques. Quand on ne peut pas trouver la recti fication des courbes plus compofées que les fections coniques, on tâche de réduire leur rectification à celle des fections coniques, de maniere que la rectification de ces dernieres étant fuppofée, on a la rectification de ces autres plus compofées qu'on peut y réduire. C'eft pour cela qu'on a mis ici fes, élemens de la rectification des fections coniques; on en: verra l'ufage dans la troifiéme Partie. 594. II. Zes formules generales pour trouver l'élement de l'aire des courbes. L'AIRE d'une courbe comprise par la feule courbe entiere FIG. XLIL quand elle rentre en elle-même comme le cercle, l'ellipfe & les autres femblables; comme auffi l'aire comprise par les courbes qui ne rentrent pas en elles-mêmes comme les paraboles, les hyperboles & les autres femblables, & par des lignes droites comme font leurs coupées & leurs ordonnées; enfin une partie finie de l'aire d'une courbe comme un fegment, un lecteur, &c. chacune de ces aires ou de ces plans curvilignes ou mixtes, c'est-à-dire, en partie curviligne, en partie rectiligne, peut être conçue partagée en une infinité de figures rectilignes, dont l'aire ou l'efpace eft infiniment petit, par raport à l'efpace entier. Ces petites figures rectilignes qui rempliffent l'efpace entier, peuvent être, felon les differentes courbes, de petits rectangles, ou de petits triangles, ou de petits parallelogrammes, ou de petits trapezes, &c, chacune eft la difference ou l'élement de l'aire entiere, & leur fomme, qui eft l'integrale de l'element, eft l'aire entiere de la figure. On appelle la mesure de l'aire d'une figure curvi ligne ou mixte, la quadrature de la courbe qui fait le circuit, ou une partie du circuit de la figure. On rapportera à deux cas la connoiffance de l'aire des courbes, ou la quadrature des courbes. Le premier comprendra les courbes qui ont des ordonnées paralleles, & on les fuppofera perpendiculaires aux coupées, afin que les élemens de l'aire foient de petits rectangles. Le fecond comprendra les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, & leurs élemens feront de petits triangles dont chacun fera compris entre deux ordonnées infiniment proches, & aura pour base une partie infiniment petite de la courbe. Il y a des courbes qui peuvent appartenir aux deux cas, comme le cercle, l'ellipfe & autres femblables. Car en concevant dans un demi cercle & dans une demi-ellipfe les ordonnées infiniment proches perpendiculaires à l'axe, les élemens feront des rectangles; & en concevant du centre dans le cercle & dans l'ellipfe des rayons infiniment proches terminés à la courbe, & encore dans l'ellipfe concevant des lignes tirées d'un des foyers à l'ellipfe, les élemens feront de petits triangles. Les fegmens d'une courbe comme ACA (fig. 42,) peuvent le rapporter au fecond cas. PREMIER Cas. Formule generale pour trouver l'element de l'aire des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées. 595. EN nommant les coupées AB(x), les ordonnées BC (y), FIG. XLII. la difference Bb (dx) de la coupée fera la largeur de l'élement CBbc de l'aire; l'ordonnée BC (y) fera la base de ce petit rectangle, & ce petit rectangle C Bbc fera ydx; ainsi nommant l'aire entiere ACB, ou cet espace entier (e), l'on. aura de=ydx. C'eft la formule pour trouver la quadrature des. courbes. 196. IL faut, pour trouver l'aire des courbes, prendre par moyen de l'équation de chacune, la valeur de y en x, & quand il y a dans l'équation dy, la valeur de dy en dx; & fubftituer ces valeurs dans la formule, qui n'aura, après la substitution, qu'une féulé inconnue x & fa difference dx, ce fera l'élément de l'aire, il ne reftera plus qu'à prendre l'integrale de cet élément, pour avoir la quadrature de la courbe, ou de telle partie qu'on voudra déterminer dont la coupée fera x. On pourroit auffi trouver l'élement de chaque courbe en y & dy au lieu de x & de dx.. I L'element de l'aire de la parabole & fa quadrature. $97. POUR trouver, par exemple, l'aire de la parabole dont l'équation eft. yy=px, on prendra la valeur de y en x, & l'on aura y=√px; on fubftituera cette valeur dans la formule, & l'on aura de➡dxvpx=pî xv d'x. pour l'élement de l'aire de la parabole. Si l'on veut trouver ici l'integrale de 532. cette difference, on la fuppoferá representée * par nax”~1dx, & fon integrale qu'on cherche par ax"; ainfi l'expofant = 1, x=x, dx=dx,p÷ =a. 1o. Il faut mettre dans l'élement, x à la place de 3, ce qui donnera 3 2 pīxï dx. 2o. Il faut multiplier dx par 3, & l'on aura lë divifeur 3 d'x. 3o. Il faut diviser på x dx par ce diviseur, & l'on 1 3 aura I 3 2 aura le quotient pix = 3 x√px: e pour l'integrale que L'element de l'aire de toutes les paraboles & de toutes m 598. L'EQUATION à toutes les paraboles eft x"=y, quand l'expofant m eft un nombre pofitif entier ou rompu, c'est auffi l'équation à toutes les hyperboles quand l'expofant m eft négatif. En fubftituant la valeur de y dans la formule de =ydx, on trouve de xdx. C'eft l'élement de l'aire de toutes les paraboles & hyperboles. On trouvera par la méthode de l'article * que l'integrale eft ex"; & en *532. mettant dans cette integrale y=x" à la place de x", l'integrale eft xy. Ce qui fait voir que l'espace parabolique est de telle parabole qu'on voudra déterminer, en fuppofant m égale au nombre qu'on voudra, & fes coordonnées x & y égales à telles grandeurs qu'on voudra, est au rectangle dés coordonnées de cet efpace qu'on aura déterminé, comme l'unité eft au nombre repréfenté par m+1. Il en eft de même de l'efpace hyperbolique entre les afymptotes dont on voudra déterminer les coordonnées & l'expofant. Mais on trouvera des genres d'hyperbole où l'intégrale eft infinie, & d'autres où elle eft finie; par exemple dans l'hyperbole du 1er genre 1 = xy, où m=—1, l'integrale eft e= =, c'est à-dire infinie. Mais en fuppofant que m =l'équation fera xy =1, & l'integrale sera e= xyy= =2xy. D'où l'on voit qu'on ne peut pas quarrer l'efpace contenu entre l'hyperbole ordinaire xy=1, & fon asymptote; mais on peut le quarrer dans l'hyperbole xyy➡ 1, &c, Tome II, Cc I + 2 |