2 On divifera l'une & l'autre par le coeficient 3 x 15 de la différentielle, & on multipliera les quotiens par le coéficient c de cx um+n du x KP = {u3du × 1 + 2 u 36 11, & le premier produit fera l'intégrale de la différentielle transformée Ludu x I + 36 +, laquelle fera le second produit. Ce qu'il falloit trouver. 3 Mais afin que les Lecteurs qui commencent, voyent le raport de la formule à la méthode du premier Problême de la feconde Section, ils ne multiplieront d'abord les quotiens que par, & faisant le calcul, ils trouveront précisément l'intégrale qu'on a trouvée ci-deffus par la formule, 1⁄2 × น I 254 36 44 ・dux I + 2 u2; Enfin ils la multiplieront par 3, (parceque 3 × = {, qui eft le coéficient de la transformée, ) & 1/ le produit fera l'intégrale de la transformée, qu'il falloit trouver. D'où l'on peut voir le parfait raport de la méthode du premier Problême de la feconde Section, * avec la formule *72 1. générale des binomes. *694. AVERTISSEMENT. Ceux qui commencent pourront, s'ils veulent se rendre les méthodes familières, chercher la rectification finie des autres paraboles, qui en peuvent avoir en fuppofant donnée la rectification de la parabole fimple. On eft entré dans cet exemple dans le détail de toutes les démarches que fait l'ef prit pour trouver ces intégrales par les méthodes qu'on a données, afin de leur apprendre la manière d'en faire de femblables dans tous les Problêmes qu'ils voudront réfoudre par le calcul intégral & l'ufage de ces méthodes, & afin qu'ils puiffent d'eux-mêmes faire des exemples, pour fuppléer à ceux qu'on eft obligé de paffer dans ce huitiéme Livre, pour ne pas le rendre trop long. EXEMPLE II. SUR LA CYCLOÏDE. 799. TROUVER la rectification de la Cycloïde. = 1 FIG.XXXV. SUPPOSANT AE—a, AB=x, BF fera*=√ax—xx÷ * 288. fuppofant auffi l'arc AF2, Bf=y, l'arc Af: 455. l'équation de la cycloïde fera * y = 2+√ax — xx, d'où l'on où mettant au lieu de dz fa déduira dy = dz + * adx-2xdx 2Vax- XX adx * 588. valeur = ; ce qui donnera dy2+ dx2 — d'où l'on tirera: * 582. = 1 dx2 ; ainsi fH ( du )* —√dy2 + dx2 = d x x ̧ až x ; * * 653. prenant les intégrales*, l'on aura l'arc Af(u) = za3· x ** 288. 2Vax. Mais Vax eft la valeur de la corde AF; d'où l'on voit que l'arc Af (u) d'une cycloïde eft double de la corde correfpondante AF (Vax) du cercle générateur; ce qu'on a *510. déja démontré par une autre voye*. En fuppofant que AB(x) devient le diametre AE (a); c'est-à-dire, en mettant a au lieu dex dans u=2Vax, l'on trouve que l'are entier AfD (u); de la cycloïde est égal à 2a, c'est-à-dire au double du diametre A E (a). PROBLEME II 800. TROUVER la quadrature des courbes par le moyen de la formule S. ydx. 598. ON a déja donné la quadrature des paraboles* & des hyperboles de tous les genres. Voici d'autres Exemples. EXEMPLE I. 801. TROUVER l'a quadrature de l'espace ABC ou ABc de la cour16. LII. be géométrique A Ca, dont (les coupées A B étant nommées x les ardonnées BC perpendiculaires aux coupées étant y, & sappofant une ligne droite donnée qu'on nommera a,) l'équation eft. x3 + y3 = =axy. COMME l'on ne peut pas féparer y dans cette équation, c'est-à-dire, trouver une valeur de y où il n'y ait de chan geante que x fans réfoudre une équation irreductible du troi- = axx 3.43 4xx dx * ydx="xx 4aa3 dz-65 dz = ༢༣ 3a3 ༣༢༢. l'on aura 4d6d. C'est l'élé- * 595. 24 244 2axx 39 3 aa * ment de l'aire ABC ou ABC. En prenant les intégra- *65.3. Qù l'on fait voir l'utilité de l'Analyse, par raport F. 802. CETTE courbe, dont l'équation eft 3+ y3=axy, est très- Car, 10. fuppofant AB (x) —o, il est évident que BC (y FIG. LII 803. =o, ainfi le point A eft l'origine de la courbe, ou l'origine des coupées & des ordonnées. I I. 2°. Les changeantes x & y étant précisément de la même maniére dans l'équation, tout ce qui convient à l'une, convient auffi à l'autre : d'où il est évident que fi l'on tire DAF par A perpendiculaire à AB, & qu'on prenne les AD (y) égales aux AB(x), & qu'on mene les perpendiculaires DE, De, à AD;& BC, Bc perpendiculaires à AB, les unes & les autres jufqu'à la courbe, il eft, dis-je, évident que DE ( x ) BC(y); & de même que De (x) = Bc (y): Que ces ordonnées égales, à caufe des perpendiculaires égales AB, AD, feront deux à deux un quarré A DG B ; & que la diagonale AGa, commune à tous ces quarrés, partagera en deux également la courbe AEaCA, & fera au point A un angle demi droit avec chacune des lignes des coordonnées AB, AD. = I I I. 804. 3o. Pour trouver la valeur de Ab (x) & de ba (y) au point á, où la courbe coupe la droite Aa, il eft clair qu'à ce pointa, ba (y) & da Ab (x), doivent être égales; ainfi fuppofant xy dans l'équation de la courbe, elle deviendra au point a, 2x3 = axx, d'où l'on déduit Ab (x), & ba (y), chacune égale à a. Par conféquent l'hypotenuse Aa =√‡aa 805. = av. D'où il fuit qu'en tirant par (a) la perpendiculaire A Pà la ligne Aa, jusqu'à la rencontre P de AB prolongée, le triangle A a P, rectangle en a, fera ifocelle, à cause de l'angle demi droit a AP ; ainfi Aa =—a P = √žaa, d'où l'on aura AP√1a2=√aaa; par conféquent AP eft égale à la grandeur connue a, qui eft fuppofée dans l'équation de la courbe. I V. 4°. Pour connoître toutes les branches de la courbe & leur fituation, par raport aux coordonnées AB ( x ), BC (y), on remarquera, 1o. que fi l'on fubftitue dans l'équation de la courbe x 713 · ―axyo, une grandeur pofitive, commeža, moindre que Ab = -a, à la place de x, l'équation deviendra yaay → La3 —o, qui eft une équation du troifiéme dégré, où les trois valeurs de y font réelles & inégales; (carp furpaffe 199*), & deux de ces valeurs font *80 & 82. pofitives, & la troifiéme valeur eft négative, & égale à la tomme des deux autres *. De même fi l'on fubftitue la va- *79&80. leur de Ab (x) La au point a, dans l'équation de la aay + a donne pour quo courbe, elle deviendra pour le point a, y3 x= + aaa; & la néga tive est = = dy 3xx-ay y & 357. *556. |