I. Cas. Quand l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe LA question se réduit à trouver l'inclinaison CĄK qu'il F16. VIII; Soit la force connue du jet HA=d, la distance horizontale auffi connue AKb; par confequent le côté horizontal BC=* 1 AK = h. Soit le côté vertical que l'on * 325.` cherche BAx, d'où l'on aura HBd-x. I Refolution. La viteffe par l'horizontale AK (b), qui eft vd-x, fera parcourir cette horizontale AK (b) par un * 320. mouvement uniforme dans le temps que la bombe montera à la plus grande hauteur du jet qui eft égale à AB (x), & defcendra de la même hauteur jufqu'à l'horizontale à l'endroit K, c'est-à-dire, dans le temps que la viteffe par la verticale AB(x) qui eft vx*, lui feroit parcourir d'un mou- * 320. vement uniforme 4AB (4x); par confequent vd-x. Vx :: AK(h). AK (b). 4AB (4x); d'où l'on déduira xx — dx + 16 bh o. Les deux valeurs de x dans cette équation font pofitives; la premiere eft * x = - 1⁄2 d + √ 2 dd — — bh ; la feconde, * 76. x = = d — ✓ = dd — bh; ce qui fait voir qu'il y a deux bb inclinaisons du mortier par lefquelles on feroit tomber la bombe au même endroit K de l'horizontale AK, & on les trouvera en mettant dans ces valeurs de x à la place de d & de h, les nombres de toifes qui leur font égaux, car HAF16. VIN & BA étant connues, le triangle rectangle ABC eft connu, & la pofition de la corde AC qui eft la direction du mortier. x= I REMARQUES. I. ON trouveroit la même résolution par la feule proprieté de la 8 figure; car HB (d—x). BC (b) :: BC(1h). BA(x); d'où l'on déduit la même équation xxdx + bh=0. 1 I I. Quand db, c'est-à-dire quand la force du jet HA (d) eft égale à la moitié de l'étendue AK (b), les valeurs de BA (x) font la feule grandeurd, c'est-à-dire ¦ HA, ce qui con, vient à l'inclinaifon de 45 degrés, III. Il est évident que le Problême eft poffible dans tous les cas où eft moindre qued, ou eft égale à d; ou, ce qui eft la même chofe, quand est moindre que dou égale à di & qu'il eft impoffible dans tous les cas oùb furpaffed, c'està-dire, quand le point K eft hors de la plus grande portée 327. ou de la plus grande étendue du jet qui est égale à 2d. * SECOND CAS DU CINQUIEME PROBLEME. Quand l'endroit fur lequel on veut jetter la bombe eft plus élevé ou plus bas que l'horizontale qui passe par le mortier, comme quand on veut la jetter fur le flanc d'un bastion, fur une tour, fur quelqu'endroit d'un fort qui eft fur une montagne, ou quand le mortier eft lui-même fur une montagne. FIG. IX. LA question fe réduit comme au premier cas, à trouver le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe, avec la force de pou. dre HA qu'on fuppofe connue, fur l'endroit Q, qu'on fuppofe élevé fur l'horizontale ARK qui paffe par le mortier A, ou fur l'endroit 9 plus bas que le mortier. Pour trouver BA, il faut mesurer l'angle QAR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique A Q, la verticale R ou qR, & l'horizontale AR; & fuppofant HA=d, AQ ou Aq=a, AR=r, QR ou qR➡q, 288. & l'inconnue AB qu'on cherche = x; l'on aura BC= vdx-xx ; l'étendue du jet AK ou Ak, qui est quadruple *325. *de BC=4Vdx-xx; la verticale KS ou ks= = 4BA=4x3 & à caufe des triangles femblables KAS, PAR, on aura AK (4√dx —xx ), KS (4x) :: AR (r), PR== Vdx On fe contentera de donner la réso lution du Problême par raport à PQ le Lecteur pouvant facilement l'appliquer à Pq. Réfolution. La bombe qu'on fuppofe jettée fuivant la dire&tion ACPS, rencontre la hauteur Q dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouru AR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur Q, elle feroit tombée au point K fur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l'horizontale AK; ainfi la viteffe étant uniforme, c'eft-à-dire la même par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AK*, peuvent *303. s'exprimer par ces longueurs. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la viteffe verticale que la pesanteur a fait perdre à la bombe, l'a empêchée de parcourir PQ; & dans le temps du mouvement uniforme par AK, la vitel fe verticale que la pefanteur lui auroit fait perdre, l'auroit empêchée de parcourir SK; par confequent* AR (rr). *309. ・qVdx Vdx -2 *) · KS (4x) ; ce qui donne cette équation 4rrx = 16 × dxxx xxx — qvdx — xx Vax - xx 2 qui fe réduit à xx drr - 2dgq — 1/2 rrq rr +99 Cette équation a deux racines pofitives *, ainfi il y a deux * 29. valeurs de BA (x) qui donnent deux angles d'inclinaifon Cor. 8. pour le mortier, par chacune defquelles on lui fera jetter la bombe fur l'endroit Q; ces deux valeurs font AB(x) drr +2dqq + rrq = 2 x rr +qq 2 x rr + qq Mais à cause du triangle rectangle AQR, AQ (aa)—AR (rr) +QR (qq); ainfi mettant aux dénominateurs aa à la place de rr+qq, & aux numerateurs aa — qq à la place de rr, deux valeurs de AB feront AB (x) = { d + ÷ q q + √ d + q + d — gx 11-1a-q+4d x 24. a, q, à leur place dans les valeurs de AB(x), on trouvera que la plus petite eft de 85 toifes, & la plus grande de 273 toifes. Ainfi partageant le diametre HA du demi cercle en 300 parties egales, prenant, 1°. AB de 85 parties, & tirant la perpendiculaire BC, la corde AC fera la premiere dire&tion qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe en Q. 2°. Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpendiculaire FG, la corde AG fera la feconde direction qu'il faut donner au mortier pour le même effet, REMARQUES. I. LE Problême est toujours poffible quand la quantité négative qui eft dans les deux valeurs de x fous le figne v, eft moindre que la pofitive qui eft fous le même fignev, ou quand 78, elle lui eft égale,& il eft impoffible* quand elle eft plus grande. I I. Si l'angle d'inclinaifon du mortier CAK étoit donné, & qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'est-à-dire, la force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit Q, FIG. IX. dans cette fuppofition l'angle PAR eft connu, & l'on trouvera par la Geometrie pratique les lignes AQ (a), AR (r), QR (q), PR, qu'on nommera p; nommant auffi l'étendue inconnue du jet AK (z), on trouvera par le fecond cas du quatrieme Problême l'étendue AK (3), BC ( — AK—÷2); enfuite on trouvera la force du jet HA(d) que l'on cherchoit, comme dans le quatrième Problême, 33I. Ufage de l'Analyse pour trouver le centre de pesanteur Principes que l'on fuppofe pris des traités de Méchanique. UN levier eft une ligne droite comme AB, qu'on suppose FIG, IV. infléxible & que l'on confidere, pour l'exactitude des démonftrations, comme n'ayant aucune pefanteur. On y diftingue trois choses, 1o. Un de fes points, foit à l'une ou l'autre de fes extrêmités A ou B; ou entre les extrêmités comme C, fur fur lequel il eft appuyé, ou par lequel il eft fufpendu; & on PREMIERE SUPPOSITION. 332. LE levier AB étant fuppofé horizontal, appuyé ou fufpen FIG. IV. du au point C, & deux poids A & B aux extrêmités; si le poids A eft au poids B, reciproquement comme la diftance BC où eft B de l'appui C, à la distance AC où eft A du même appui C, ces deux poids A & B feront en équilibre: Et reciproquement fi A & B font en équilibre, l'on aura A .B:: BC. AC. ny Ainfi fuppofant le plus petit poids A=p, le plus grand = = COROLLAIRE I. 333. SI au lieu des poids A & B attachés aux extrêmités du levier, l'on conçoit deux corps A & B qui choquent ou qui tirent les extrêmités du levier, fçavoir A avec la viteffe v, & B avec la viteffe u; A x v fera la force avec laquelle A agit au point A, & B × u sera la force avec laquelle B agit au point B; par consequent fi A x v. B× u :: BC. AC, il y aura équilibre entre ces deux forces; & s'il y a équilibre, Axv. Bxu :: BC. AC; d'où l'on déduit A x v × AC = Bxux BC. SECONDE DEFINITION. 334. LE point C d'un levier, dont les diftances CA, CB des poids A & B qui font aux points A & B du levier, font entr'elles reciproquement comme ces poids, s'appelle le centre de pefanteur de ces poids, la ligne tirée de ce centre C perpendiculairement à l'horizon, s'appelle la ligne de direition de ce centre, ou fimplement la ligne de direction. La pefanteur de chacun des poids confiderés feparés du levier, s'appelle leur pefanteur ou leur force abfolue; comme auffi Tome II, |