335. le produit Ax v ou B x u de la maffe de chacun des deux du levier. SECONDE SUPPOSITION. SI le levier eft appuyé ou foutenu à fes deux extrêmités A FIG. IV. & B, & qu'il y ait un poids C à un point quelconque C entre les points A & B, les appuis en A & en B foutiennent chacun une partie du poids C, & la partie que le poids C communique à l'appui A, est à la partie qu'il communique à l'appui B, réciproquement comme la distance BC eft à la distance AC. Ainfi nommant a la partie de fa pefanteur que le poids C communique à l'appui A, & b celle qu'il communique à l'appui B l'on aura a. b:: BC. AC; d'où il fuit que a+b ou le poids entier C. b:: AB. AC; & l'on aura aufli a+b .a:: AB. BC; c'est-à-dire, le poids entier C eft à la partie de fa pefanteur qu'il communique, par exemple, à l'appui B, comme la diftance AB entre les deux appuis, eft à la diftance CA du point C de l'autre appui A. S'il n'y avoit qu'un appui en A, & qu'en B ce fût feulement quelque force qui refiftât à l'effort que le poids C communique au point B, il eft clair que ce feroit la même chofe que s'il y avoit un appui au point B, & que le poids C communiqueroit au point B la même partie de fa pefanteur. Si au lieu du poids C, c'étoit un corps en mouvement qui poufsât ou tirât le point C, & que la viteffe de ce corps fût v, il est évident qu'il faudroit prendre la force Cx pour le poids C, & que cette force ou quantité de mouvement se diftribueroit aux points A & B ̊en raison réciproque des distances AC, BC, TROISIEME SUPPOSITION. pas perpendi. & XI. 336. QUAND les directions AD, BE des forces ou des poids FIG. X. qui tirent les points A & B du levier, ne font culaires au levier AB, il faut tirer de l'appui C des perpendiculaires CD, CE aux directions AD, BE des forces, & prendre ces perpendiculaires ou ces distances des directions des forces ou des poids, pour les distances où font les forces ou les poids de l'appui C, & mettre ces diftances des dire&tions pour les distances des forces dans la feconde fuppofition qui précede. 337. Cependant dans le cas où les directions des forces font FIG. X. paralleles entr'elles, on peut prendre AC & CB pour les éloignemens où font les forces ou les poids de l'appui C, par cequ'elles ont le même raport AC. CB :: CD. CE. QUATRIE' ME SUPPOSITION. Ainfi on peut concevoir un corps pefant comme compofé Propofition fondamentale pour trouver le centre de pefanteur. 338. CONCEVANT un plan proche d'un corps pefant P, & par tageant par l'esprit le corps pefant en autant de petits poids qu'on voudra, qu'on nommera a, b, d, e, f, &c. pour rendre la chofe plus claire; fi des centres de pefanteur de chacun de ces petits poids, on conçoit des lignes droites menées per pendiculairement à ce plan, nommant a celle qui eft tirée du centre de pefanteur du petit poids a; B, celle qui eft tirée deb, &c. fi l'on conçoit auffi la perpendiculaire x menée du centre commun de pefanteur C à ce même plan, la fomme des produits aa+bB+do+ee+&c. de chacun des petits poids par fa perpendiculaire, eft égale au feul produit xx P de la perpendiculaire x du centre de pefanteur multiplice F1 G. XII. le a I bc par corps pefant entier, ou, ce qui eft la même chose par la fomme des petits poids a, b, d, &c. c'est-à-dire a a+bB +d♪+eɛ+ &c. = × × a+b+ d + e + &c. = x x P. l'AnaPour découvrir la verité de cette propofition par lyfe, il fuffit de confiderer deux des petits poids dans lesquels on conçoit le corps pefant partagé. Ces deux petits poids foient a & b; le levier par le moyen duquel on les conçoit en équilibre foit a Cb, qui paffe par le centre de pefanteur commun C, lequel point C eft comme l'appui de ce levier; * 332. le poids a soit nommé a, le poids b foit na ; ainsi * a . na :: bC. aC, & a. a + na :: bC. ba; ainfi La ligne Bxa représente le plan qui eft proche du corps pefant, & be, qu'on nommera 6, eft la ligne perpendiculaire tirée du centre de pefanteur du petit poids 6 au plan Bra; Cdx, qu'on nommera x, eft la perpendiculaire tirée du centre commun de pefanteur C au même plan; & a ea eft la perpendiculaire menée du centre de pefanteur du petit poids a au même plan. On menera bde parallele à ce plan Bxa; & les trois lignes bß, du, ea, font égales entr'elles, & chacune eft = =bB bB (B); Cd=Cx-dx=x-B. Il faut démontrer que b x b B + a xa a = C x x b + a. A caufe des triangles femblables abe, Cbd, on aura bơ. ba (1. 1+n): Cd(x-B). ae — x — B + xn = Bn; Ainfi ae + ea = x + xn Bn. Or le produit de b x b B bßaßn; (à caufe de ban, & de bß=6); celui de a par a a=ax +axn aßn ; ainfi 6 × bax aa = an ann. Le pro duit de la fomme des deux petits poids a & b par Cx, eft auffi a+an x x = ax + axn. Ce qu'il falloit démontrer. X COROLLAIRE. 339. IL eft évident que ce qu'on vient de démontrer pour deux des petits poids dans lefquels on conçoit qu'un corps pefant eft partagé, convient à tous; & qu'ainfi pour trouver la diftance du centre de pefanteur d'un corps à un plan, il faut trouver la fomme des produits de tous les petits poids dans lefquels on peut concevoir le corps partagé par le's lignes perpendiculaires tirées de chacun à ce plan, c'est-àdire, la fomme des produits de chacune de ces perpendicu laires multipliée par fon petit poids, & divifer cette fomme par la fomme de tous les petits poids, c'eft-à-dire, par le torps entier, & le quotient fera la perpendiculaire tirée du centre de pefanteur du corps à ce plan, c'est à-dire fa distance de ce plan. AVERTISSEMENT. On pourroit ici trouver par analyse, en fe fervant du calcul ordinaire, le centre de pefanteur des differentes figures; mais la méthode étant bien plus aifée en fe fervant du calcul differentiel & du calcul integral, on n'en parlera que dans les parties fuivantes; il fuffit ici d'avoir démontré le principe de la méthode par le calcul ordinaire. Ufage de l'Analyse pour trouver le centre d'ofcillation AVERTISSEMENT. 340. LA regularité des horloges dépend de ce qui en modere le mouvement; l'on n'a rien trouvé qui le fît avec plus de jufteffe que les pendules, parceque l'on a découvert l'art de faire en forte qu'un pendule fît toutes fes vibrations chacune d'une égale durée, c'est-à-dire, que l'effort du poids de l'horloge agiffant par le moyen des roues & des pignons fur le pendule quelquefois un peu plus fort, d'autre fois un peu moins fort, on a trouvé le moyen de faire que les plus gran des & les moindres vibrations du pendule fe fiffent en des temps égaux, ou fuffent chacune d'une même durée. Ainf donnant aux roues & aux pignons de l'horloge le nombre de dents propres à faire que l'effort du poids ne pouffe le pendule que de fecondes en fecondes, ce qui eft facile, il ne faut plus que trouver un pendule qui faffe chacune de fes vibrations en une feconde de temps; & l'on aura une horloge qui fera la mesure exacte du temps. Pour cela il faut trouver deux chofes, la premiere eft qu'en fe fervant d'un pendule compofé, c'est-à-dire, qui a deux ou plufieurs poids (ce qui fert à avancer ou à retarder facilement l'horloge, quand elle en a besoin) il faut trouver l'endroit où doit être placé chacun des poids, afin que les vibrations fe faffent chacune en un temps donné, comme en une feconde; la feconde, quelle eft la courbe que doit décrire le point du pendule où l'on conçoit que l'effort des poids eft réuni, afin que les durées de chacune des vibrations foient égales, & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L'Analyse fait trouver l'une & l'autre de ces deux chofes, Voici la premiere. DEFINITION. 341. UN pendule fimple est une ligne infléxible SC, qu'on con FIG. XIII. fidere comme n'ayant aucune pefanteur, qui eft suspendue à un point S, qu'on appellera le point de fufpenfion, au bout de laquelle est un poids C, & l'on conçoit que le poids C eft comme réuni au point C qui eft l'extrêmité de la ligne. La distance SC du point de fufpenfion jufqu'à ce point C, eft la longueur du pendule fimple. Si l'on retire un peu le pendule de la fituation verticale, il fera de petites vibrations qui seront fenfiblement d'une égale durée. FIG. XIV. Un pendule compofe eft celui où il y a plufieurs poids enfilés & XV. parla même ligne infléxible, & l'on confidere ici chacun de ces poids comme fi ce n'étoit qu'un point. La distance depuis le point de fufpenfion S d'un pendule compofé jusqu'au point C(fig. 14), & jufqu'au point K (fig. 15), que l'on fuppofe égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone, c'est-à-dire, qui feroit fes vibrations dans le même temps que le pendule compofé, s'appelle la distance du centre d'of cillation; & le point C ou K s'appelle le centre d'ofcillation. PREMIERE DEMANDE. DANS 342. NS un même pendule compofé, qu'on fuppofe infléFIG.XIV. xible, les poids differens comme A, L, (fig. 14),& A, B,L, & XV. (fig. 15), ne fçauroient se mouvoir qu'ils ne décrivent dans le même temps des arcs femblables AQ, LP; par confé quent le temps étant le même, les viteffes des poids font neceffairement entr'elles comme ces arcs; & ces arcs comme leurs rayons SA, SZ: ainfi les viteffes des poids A & L font comme leurs distances AS, LS, du point de fufpenfion, SECONDE DEMANDE. 343. L'EFFORT de la pefanteur fur les corps pesans leur imprime au premier inftant de leur chûte à chacun un même petit degré de viteffe, qu'on nommera 1. Ainfi le produit |