mu 57 à la parabole du premier genre p'x'=y2: Si m = 2, n=1, l'équation p"x"=y" fera ppxy', qui eft l'équation à la premiere parabole cubique: Si m=1, n=2, l'équation p"x"=y"" sera pxx y3, qui eft la feconde parabole cubique: Si m=3, n = 1, l'équation p"x"="+" fera px=y', qui eft la premiere parabole du troifiéme genre, & ainfi à l'infini. I n = m -I , De même en mettant dans l'équation à l'ellipse y2=x1× d-x, & dans l'équation à l'hyperbole dy2 x'x d +x les expofans indéterminés m & n; l'on aura 1o. l'équation ¿y" + " = x" × d—x, qui exprime les ellipfes de tous les genres à l'infini, m & n représentant tous les nombres entiers qu'on peut mettre à leur place; & 2°. l'équation dy"+"=xTM× d+x, qui exprime les hyperboles de tous les genres à l'in fini par la même raison. m On peut de même rendre generales les équations de toutes les courbes qu'on peut imaginer. TROISIE'ME DEFINITION, 356. DAN's les courbes du premier genre, quand la ligne des FIG. XVI. coupées ABB coupe par la moitié chacune des ordonnées CBC terminées de côté & d'autre à la courbe, elle s'appelle un diametre de la courbe, & le point A où ce diametre rencontre la courbe eft nommé le fommet de ce diametre, il fuffit qu'il en coupe deux differentes par la moitié, pour les couper toutes. Quand le diametre eft coupé perpendiculairement par les ordonnées, on l'appelle l'axe de la courbe; la ligne droite donnée p dans les équations px=yy,yy=× × d—x, yy= =xx dx, s'appelle le parametre du diametre qui eft la ligne des coupées x dans l'équation. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole les diametres fe croifent dans un point K FIG. XVII, qu'on appelle le centre. Dans l'une & dans l'autre le diametre XVIII. dD qui eft parallele aux ordonnées, s'appelle le fecond ou le diametre conjugué du premier diametre Aa qui les coupe chacune par la moitié, & on les appelle conjugués l'un de l'autre." Une ligne qui touche une courbe dans un feul point, comme FIG. XIX, CS, s'appelle la tangente en ce point là qui s'appelle le point tou chant; & la partie de la ligne des coupées comme BS, qui cit interceptée entre l'ordonnée BC du point touchant C, & le Tome II. H XX. XXI. 357. point S où elle eft rencontrée par la tangente prolongée, FIG. XIX. S'appelle la foutangente: une droite CD perpendiculaire à la tangente au point touchant, s'appelle une perpendiculaire à la courbe,& la partie BD de la ligne des coupées entre l'ordonnée BC au point touchant, & le point D où cette perpendiculaire coupe la ligne des coupées, fe nomme la fouperpendiculaire. Une ligne droite fur le même plan de la courbe, dont la courbe s'approche de plus en plus à l'infini fans jamais la FIG. XXI. toucher, comme KE, s'appelle une afymptote de la courbe. Les mêmes définitions conviennent aux courbes des genres plus élevés, neanmoins comme la même courbe dans ces genres plus élevés, a d'ordinaire plufieurs branches de chacun des côtés du diametre, quand elle a un diametre: lorfque la ligne des coupées coupe chaque ordonnée de maniere que la fomme des parties de l'ordonnée terminées aux points de chaque branche de la courbe d'un côté, est égale à la fomme des parties de la même ordonnée terminées aux branches de la courbe qui font de l'autre côté, alors la ligne des coupées eft un diametre de la courbe, & ce diametre eft l'axe, quand les ordonnées lui font perpendiculaires. De la formation ou defcription des courbes, fur-tout 358. ON peut tracer les courbes fur un plan de deux manieres, 1. Par le mouvement continu d'un point, ce qui fe peut faire de differentes manieres: par exemple, on peut faire mouvoir deux longues regles fur deux points fixes qu'on appelle les Poles, de façon qu'elles fe croifent pendant leur mouvement en des points dont la fuite eft la courbe que l'on veut décrire : l'une des deux regles peut fe mouvoir parallelement le long d'une ligne donnée de pofition, pendant que l'autre tournera fur fon pole, & la fuite des points où elles fe croisent pendant leur mouvement fera auffi une courbe, l'on peut faire mouvoir une figure rectiligne ou courbe le long d'une regle immobile, pendant qu'une autre regle se mouvant fur fon pole, coupera la courbe en des points dont la fuite fera une ligne courbe. On peut imaginer une infinité d'autres manieres de décrire les courbes par le mouvement continu, 2o. En trouvant plufieurs points de la courbe très-proches les uns des autres, & les joignant enfem. ble par de petites lignes, l'on a à peu près la courbe que l'on veut décrire. & De toutes les manieres que l'on a trouvées de décrire les courbes du premier genre par un mouvement continu, la plus commode eft la fuivante, dont M. le Marquis de l'Hôpital eft l'auteur, parcequ'elle fert non feulement à les tracer avec les axes, mais auffi avec tel diametre de la courbe qu'on voudra, & de plus elle donne d'abord l'équation de la courbe la plus fimple par raport à fes axes ou à fes diametres. 359. Il faut remarquer que les courbes du premier genre se nomment ordinairement les fections coniques, parcequ'en concevant deux cones égaux qui ont le même fommet, qu'un plan coupe l'un des deux ou tous les deux, la fection eft une parabole, quand le plan coupant eft parallele à un côté de la furface du cone, qui est le côté du triangle qui coupe le cone par le fommet perpendiculairement à ce plan; une ellipfe, quand le plan coupe les côtés oppofés de la furface du cone, & ne fait pas les angles avec ces côtés, égaux à ceux qui font ces côtés fur la bafe du cone; un cercle, quand le plan coupe les côtés oppofés, & fait avec eux les angles égaux à ceux que font ces côtés fur la base; une hyperbole, quand le plan coupe les deux cones oppofés au fommet: c'eft ce qui a fait appeller par les Anciens, fections coniques, les courbes du premier genre; mais cette maniere de concevoir ces courbes comme formées par la fection du cone, étant plus embarraffante que la maniere de les décrire fimplement fur un plan, celle-ci étant la feule qui eft d'ufage; on ne parlera point ici de la premiere. On fe contentera d'expliquer la feconde, d'en déduire les équations des fections coniques, & les principales proprietés neceffaires pour entendre ce huitième Livre. La formation de la parabole. 360. 1°. IL faut tirer une droite AB indéterminée, & prenant Fro. XVI. 1 1 il faut mener par P la ligne indéterminée F Pf parallele à ABb. 2o. Il faut prendre une longue regle ACF, l'attacher par un clou au point A autour duquel elle puiffe fe mouvoir fur le pole A, & la mettre d'abord fur la ligne gAGP; il faut enfuite prendre une longue regle GC, & la faire gliffer toujours parallele à AB le long de la ligne AGP, & la mettre d'abord le long de ABb. 3°. Pour décrire la partie de la parabole qui eft à la droite de AB, il faut faire mouvoir en bas la regle ACF sur le pole A, & faire en même temps gliffer la regle GC, le long de AGP, faisant en forte que AG foit toujours égale à PF, & marquer avec un ftile Cla ligne courbe AC qui paffe par tous les points C, où les regles fe croifent dans leur mouvement, & ce fera la partie de la parabole qui eft vers la droite du diametre ABb. 4o. Pour décrire l'autre partie Ac de la parabole, il faut faire mouvoir la regle Afen haut au-deffus de P, & faire gliffer la regle ge le long de Ag, faifant en forte que Ag soit toujours égale à Pf, & marquer avec un ftile c la courbe qui paffe par tous les points c où les regles Ac & gc se croisent dans leur mouvement continu, & ce fera la feconde partie de la parabole. La defcription de l'ellipse & de l'hyperbole. 361. LA longueur Aa du diametre ou de l'axe doit être déterFIG. XVII. minée, comme auffi la longueur AP du parametre qui con& XVIII. vient à ce diametre ou à l'axe; & l'on doit d'abord faire ce qui eft marqué dans les deux premiers articles de la parabole, excepté que la feconde regle ac doit être mobile autour du pole a, qui eft la feconde extrêmité du diametre Aa. Pour décrire la partie de l'ellipfe ou de l'hyperbole qui eft à la droite de ABb, on fera mouvoir en bas au-deffous de P la premiere regle ACF fur le pole A, & en même temps la feconde regle aC fur le pole à, faifant en forte que AG foit toujours égale à PF; & l'on marquera avec un stile en C la courbe qui paffe par tous les points C où fe croisent les deux regles; & ce fera la premiere moitié de l'ellipse ou de l'hyperbole AC, Pour décrire l'autre moitié, on fera mouvoir en haut la premiere regle Af au-deffus de P toujours fur le pole A, & l'autre regle ac du côté gauche de ABb, faisant en forte que Ag foit toujours égale à Pƒ, & l'on marquera avec un ftile en c la courbe Acc, qui paffe par tous les points c où ces regles fe croifent ; & ce fera la feconde partie de l'ellipse ou de l'hyperbole. L'hyperbole ayant en particulier une autre hyperbole ax La maniere dont on déduit des formations précedentes les équations POUR LA PARABOLE. 362. SOIT le parametre AP―p, chaque PF ou Pf=f, F16. XVI. chaque coupée AB, Abx, chaque ordonnée BC, bc =y. Les triangles APF, ABC, font femblables, comme auffi APf, Abc, à caufe des paralleles AGP, BC, & ABb,fPF; par confequent AP (p). PF (ƒ) :: BC (y). AB (x); d'où Î'on déduit px=fy: Mais à caufe des paralleles, BC (y) =AG=PF (f) par la conftruction: ainfi mettant y à la place de f, l'on a l'équation à la parabole px=yy, c'est-àdire, chaque ordonnée BC (y) eft moyenne proportionelle entre la coupée AB (x) & le parametre AP (p); ou bien le produit px du parametre par la coupée est toujours égal au quarré de l'ordonnée yy. Il est évident que la même équation convient à la feconde moitié de la parabole Ac. COROLLAIRES, I. 363. SI l'on prolonge chaque BC vers la gauche jufqu'à ce qu'elle rencontre la parabole en c, l'on aura Bc=BC; car mettant la regle fAc dans la fituation où elle faffe fP=FP, |