fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du divifeur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c, & AB par a, la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant que AK eft l'unité, l'on a toujours la même proportion AB(a). AH(c) :: AK(1). AM=1.

АН

275. · · D'où il est visible que AH (2), qui eft l'expression du ra

AB

AM

port de A H à AB, eft la même chofe que(); les raports égaux exprimant des grandeurs égales, & l'on voit aufli qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite sous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénomi nateur de la fraction dont cette grandeur est le numerateur, fans que cela en change la valeur.

REMARQUE.

276. ON doit remarquer que dans les comparaisons des lignes, l'unité eft ordinairement arbitraire, c'est-à-dire, qu'on peut. prendre une des lignes données pour l'unité, en raportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité : Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la question que l'on veut réfoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainsi supposant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK=a, AB=b, AH =d, AM=c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité l'expreffion bc = AH (d) marquera le produit des lignes AB(b), AM (c), qui est AH=.

a

Quand on a ainfi déterminé une des lignes d'une question
comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commo-
ditez. 19. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve,
ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer
la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des pro.
duits où elle fe trouve, ainfi aabcbc, bcd = = bcd. 20. On
peut dans une équation rendre tous les termes d'un même
nombre de dimensions, en multipliant chaque terme par
l'unité repétée autant de fois qu'il lui manque de dimen-
fions pour égaler les dimenfions des autres termes, ce qui
les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3
→px
bcd
bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx
o; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de
dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

2

277.

de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx

o, en écrivant xx

bbcx-ccdd

O.

-bbc x

ccdd

Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux V,,, &c. comme Vab, Jabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b', &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple, vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prife pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainfi des autres.

COROLLAIRE I.

378. IL est évident, après ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être repréfentez par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les raports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marquez par les expreffions & les cal culs de l'Analyse.

279.

COROLLA I RE II.

IL eft de même évident
que l'on peut changer, pour la
commodité du calcul, des expreffions compofées en d'autres
plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus
faciles, fans en changer la valeur.

n,

Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofez à une feule lettre. Si l'on a bede, 1o. faifant a. b :: c., qu'on fuppofera =m, l'on aura ambc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde bcde. 2°. Faifant enfuite a. m::d. l'on aura an md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 30. Faifant enfin a. n:: e. p, on aura apne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura a3p=bcde ; où fupprimant l'unité a3, on aura p―bcde

=

Si l'on avoit de, on trouveroit a3p = bcde, & aaq=fgh;

fah

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le déno minateur fuffent complexes; c'est-à-dire, continffent plufieurs produits joints par + &, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

efg

On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme bed, en faisant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: cm, on aura am = bc, & abcd & abcdaamd; puis faifant comme a. m:: d. n, on aura abcd=aaan; faifant de même pour le dénominateur a. e :: f. p, on aura ap=ef, & efg=apg; failant enfuite a. p::g. q, on aura aq=pg; ainfi efg=aaq, & abcd ==; enfin faisant q. a :: n. r, on aura r=

an

ef&

Si l'on avoit bede, en trouvant m moyenne proportionelle entre 6 &c, & n moyenne proportionelle entre d &e, l'on changeroit l'expreffion bc de en mmnn qui lui feroit égale.

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles semblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition ou demande, 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse 1. t. expriment les aires des figures; par exemple nommant a la base GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa est l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a bafe AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH,b; ab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, sa base GF-a, fa hauteur GC b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi des autres.

la

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des

des corps; par exemple, nommant aa le quarré GH; l'on conçoit le cube dont ce quarré est la base, a3 sera l'expreffion de la folidité de ce cube; de même abc fera l'expreffion d'un prisme dont la base eft représentée par le produit des lignes a & b, & la hauteur par c; abc fera l'expref fion d'une piramide qui aura la même base & la même hauteur que le prisme précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la fouftraction des produits qui repréfentent des furfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres : c'est la même chose des produits qui expriment des folides.

Troifiéme fuppofition ou demande fur l'ufage des fignes + & par raport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent FIG. L à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits, com. me RM, KM, OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QP, &c. foient comprises dans un Problême, quand on a befoin de diftinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au devant le figne +, & les autres négatives & l'on met au devant le figne; on fait la même chofe pour diftinguer entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles qui montent. Il est libre au commencement de l'operation. de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche ; & de même entre celles qui defcendent & celles qui montent: Mais fi l'on se détermine à mettre le figne devant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF ; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, DI, EG, &c. doivent avoir le figne-. De même fi l'on fe déterminé à mettre le figne+ devant celles qui defcendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le figne devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c. Le terme où commencent les pofitives & les négatives de gauche à droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où com Tome II.

B

mencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives.

Suppofant 40+a+1, OL=+b, AE=+c, l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF, AO (+ a ou + 1). OL (+b): AE(+c). EF + ; d'où l'on voit comment + multiplié par +, donne un produit qui a +.

Faifant 40+a=+1, AE+c, ON=-d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (+ a òu + 1). AE(+c) :: ON (d). EG — cd

-cd

Comme auffi en nommant AK (+e), on aura à cause des triangles femblables OAN, KAM, AO (+ a ou+1). ON(-d): AK(+c). KM —— -de; d'où l'on voit comment + multiplié par —, ou — — par+, donne un produit qui a-.

Suppofant encore AR-f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, AO (+ a ou + 1 ). OL(+b):: AR (—f). RQ = ; d'où l'on voit enbf, core comment + par— ou par +, donne un produit qui a

4

Enfin à cause des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura: 40 (+ a ou + 1). ON (— d) :: AR(—ƒ); RM=df; d'où l'on voit comment

un produit qui a✈.

par-, donne

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du duit de + A E par AB, 'fera pofitif.

pro

Le rectangle AH fait de-AD par + AB, féra négatif. Le rectangle AG fait de + AE par- AC, fera négatif. Mais le rectangle AI fait de- AD par- AC, fera pofitif, & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de — DA par + AB. L'on fuppofe dans tous les produits l'unité pofitive.