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Pl. I.

Fig. 19.

EG (par la 47. du 1.) Donc le quarré de AG eft double des quarrez de AC, CD; le même AG (par la 47. du 1.) eft égal aux quarrez de AD, DG, ou DB. Donc les quarrez de AD, BD, font doubles quarrez de AC, CD.

des

USAGE.

On peut fe fervir de cette Propofition pour refoudre avec facilité le Probleme fuivant. Trouver les deux côtez d'un rectangle, dont on connoît la diagonale, & la difference des deux côtez inegaux. Que la diagonale AC du rectangle ABCD foit de 26,& la difference des deux côtez AB, BC foit de 14. pieds. Pour trouver les deux côtez AB, BC, on raifonnera de la forte. Retranchez du plus grand côté AB, la li gne BE égale au plus petit BC, & alors la ligne AE fera la difference de ces deux côtez AB, BC,& elle fera par confequent de 14. pieds: & fi l'on divife cette difference AE en deux également au point F, chacune des deux moitiez AF, EF, fera de 7. pieds. Cela étant fuppofé, voici com ment on peut connoître les deux côtez AB,

BC.

Parce que le quarré de la ligne AB, avec le quarré de la ligne BE, ou BC; c'est-àdire (par la 47. du 1.) le quarré 676 de a diagonale AC, eft double des quarrez des

lignes AF, BF, fa moitié 338. fera égale à la fomme des mêmes quarrez AF, BF; c'est pourquoi fi de cette moitié 338, on ôte le quarré 49. de la ligne AF,il reftera 289 pour le quarré de la ligne BF, laquelle par confequent vaudra 17: fi l'on ajoûte la ligne AF à BF, ou 7 à 17, la fomme donnera 24 pour le plus grand côté AB: & fi l'on ote la ligne EF de BF, ou 7. de 17, le reste donnera 10 pour BE ou BC, &c.

PROPOSIITON XI.

PROBLEME.

Divifer une ligne de telle forte que le recangle compris fous toute la ligne, & fous la plus petite de fes parties, foit égal au quarré de l'autre partie qui eft plus grande.

N propofe la ligne AB à divifer en Pl. 17 H, de telle forte que le rectangle Fig. 20. compris fous toute la ligne AB, & fous HB, foit égal au quarré de AH. Faites le quarré de AB ( par la 46. du 1. ) divisez ÅD par le milieu en E: tirez EB, & prenez EF égale à EB; faites le quarré de AF, c'eft-à-dire, que AF, AH foient éga

Pl. I.

les. Je dis que le quarré de AH, qui eft la plus grande partie de la ligne divifée, fera égal au rectangle HC, compris fous HB qui eft la plus petite partie, & la ligne BC, égale à AB.

Démonftration.

La ligne AD eft divifée également au Fig. 20. point E, & on y a ajoûté la ligne FA: donc par la 6.) le rectangle DG compris fous DF & FG, égale à AF, avec le quarré de AE, eft égal au quarré de EF égale à EB. Or le quarré de EB eft égal au quarré de AB, AE, (par la 47. du 1.) donc les quarrez de AB, AE font égaux au rectangle DG, & au quarré de AE; & ôtant de part & d'autre le quarré de AE, le quarré de AB, qui eft AC, fera égal au rectangle DG: êtant auffi le rectangle DH, qui eft dans tous deux, le rectangle HC, fera égal au quarré AG.

USAGE.

Cette Propofition fert pour couper une ligne, felon l'extréme & la moyenne raifon, ainfi que nous enfeignerons dans le 6. Livre, Propofition 30. Elle revient souvent au 14. Livre des Elemens d'Euclide, pour trouver les côtez des corps reguliers ; elle fert la 10. Propofition du quatrieme Livre, pour inferire un Pentagone dans un Cercle > comme auffi un Pentadecagone,

pour

Vous verrez d'autres Ufages d'une ligne divifée de cette forte, dans la Propofition 30. du Livre 6.

PROPOSITION XII

THEOREME.

Dans un Triangle obtus angle, le quarre du côté oppofé à l'angle obtus, eft égal aux quarrez des deux autres côtez, & à deux rectangles compris fux le coté, fur lequel prolongé, on a tiré une perpendiculaire, & fous la ligne qui eft entre le Triangle, & cette perpendiculaire.

QAB

7.

UE l'angle ACB, du Triangle Pl. 7: ABC, foit obtus ; & qu'on tire du point A, AD perpendiculaire à BC prolongée; le quarré du côté AB eft égal aux quarrez des côtez AC, CB, & à deux rectangles compris fous le côté BC, & fous DC.

Démonftration.

Le quarré de AB eft égal aux quarrez 'de AD, BD (par la 47. du 1.) le quarré de DB est égal aux quarrez de DC, & de CB, & à deux rectangles compris fous DC, CB, (par la 4.) donc le quarré AB

eft égal aux quarrez de AD, DC, CB, & à deux rectangles compris fous DC, CB. Au lieu des deux premiers quarrez AD, DC, mettez le quarré AC qui leur eft égal (par la 47. du 1.) le quarré de AB, fera égal aux quarrez de AC & CB, & à deux rectangles compris fous DC .CB.

USAGE.

Cette Propofition fert dans la Planimetrie, pour mesurer l'aire d'un Triangle, ses trois côtez étant connus. Par exemple, fi le côté AB étoit de 20. pieds; AC de 13, BC de 11. le quarré de AB feroit de 400. Celui de AC de 169,& celui de BC de 121, la fomme des deux derniers eft 290, laquelle étant fouftraite de 400, laiffe 110 pour les deux rectangles fous BC,CD. La moitié 55 fera un de ces rectangles; & le divifant par BC, 11, nous aurons S pour la ligne CD. Son quarré eft de 25. lequel étant fouftrait du quarré de AC 169, refte le quarré de AD 144, & Sa racine 12, fera le côté AD: laquelle étant multiplié par moitié de BC, vous aurez l'aire du Triangle ABC, de 60 pieds

quarrez.

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