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PROPOSITION XIII.

THEOREM E.

Dans quelque Triangle rectiligne que ce foit, le quarré du côté oppofe à l'angle aigu, avec deux rectangles compris Jous le côté fur lequel la perpendiculaire tombe, & fous la ligne qui eft entre la perpendiculaire & cet angle, eft égal aux quarrez des autres côtez.

S

on propofe le Triangle ABC, qui PI 1. ait l'angle C aigu, & fi on tire AD Fig. 226 perpendiculaire à BC: le quarré du côté AB oppofé à l'angle aigu C, avec deux rectangles compris fous BC, DC, fera égal aux quarrez AC, BC.

Démonftration.

La ligne BC eft divifée en D: donc (par la 7.) les quarrez de BC, DC, font égaux à deux rectangles compris fous BC, & DC, & au quarré de BD, ajoûtez le quarré AD, de côté & d'autre, les quarrez de BC, DC, AD, feront égaux à deux rectangles fous BC, CD, & aux quarrez de BD, AD. Au lieu des quarrez de CD, AD, mettez le quarré de AC qui leur eft

égal (par la 47. du 1.) & au lieu des quarrez de BD, AD, fubftituez le quarré de AB, qui leur eft égal, les quarrez BC, AC, feront égaux au quarré de AB, & à deux rectangles compris fous BC, & DC.

USAGE.

Ces Propofitions font fort utiles dans la trigonometrie; je m'en fuis fervi dans la huitieme Propofition du troifieme Livre, pour prouver que dans un Triangle, il y avoit même raifon du Sinus total, au Sinus d'un angle , que du rectangle compris fous les cotez qui forment cet angle au double du Triangle. Je m'en fers auffi dans plufieurs autres Propofitions comme dans la 7.

PROPOSITION XIV.

PROBLEM E.

Decrire un quarré égal à un rectiligne

donné.

Pl.

OUR décrire un quarré égal au recPtiligne de faites la s. du 1.) Fig. 1 tiligne A; faites (par la 45. du 1.) Fig. 231 un rectangle BCDE égal au rectiligne A. Si ces côtez CD, CB, étoient égaux, nous aurions ce que nous défirons s'ils font inégaux, continuez la ligne BC, de forte que CF foit égal à CD; & divifant la ligne BF, par le milieu au point G, décrivez le demi-Cercle FHB: enfin prolongez DC en H, le quarré de la ligne CH, eft égal au rectiligne A. Tirez la ligne GH.

Démonftration.

La ligne BF, eft divifée également en G, & inégalement en C: donc ( par la 5.) le rectangle compris fous BC, CD ou CF, c'est-à-dire le rectangle BD avec le quarré CG, est égal au quarré de GB, ou de GH fon égal. (Or par

la 47. du 1.) le quarré de GH eft égal aux quarrez de CG & CH: donc le rectangle BD; & le quarré de CG font égaux aux quarrez de CG, & de CH. Et ôtant le quarré CG qui leur eft commun; le rectangle BD, où le rectiligne A est égal au quarré de CH.

USAGE.

Cette Propofition fert premierement pour reduire au quarré quelque rectiligne que ce foit: & comme le quarré eft la premiere mefure de toutes les furfaces, à cau Se que fa largeur, & fa longueur font égales, nous mefurons par ce moyen toutes fortes de figures rectilignes. Secondement, cette Propofition nous enfeigne à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données, ainsi que nous verrons dans le fixieme Livre.

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