Imágenes de páginas
PDF
EPUB

PROPOSITION III.

THEOREM E.

Si dans un Cercle une ligne droite paffe par le centre, & coupe en deux également une autre ligne droite qui n'y paffe point, elle la coupera perpendiculairement ; & fi elle la coupe perpendiculairement, elle coupera en deux également.

la

per

E fuppofe premierement que la ligne Fig. droite BD, qui eft dans le Cercle AB CD, paffe par le Centre E, & qu'elle coupe en deux également au point F, la ligne AC qui n'y paffe point; cela étant, je dis que la ligne BD, coupe la ligne AC pendiculairement. Pour le prouver. Menez les lignes droites AE, EC, cela pofé. Dans les Triangles AFE & CFE, le côté AF eft égal au côté FC par la fup. pofition,le côté FE eft commun à ces deux Triangles. De plus la bafe EA eft égale à la bafe EC, par la définition du Cercle; donc ( par la 8. du 1.) l'angle AFE eft égal à l'angle CFE, & la ligne BD eft perpendiculaire à AC. C. Q. F. D. Je fuppofe en fecond liea, que la ligne

K

Fig. 9.

Fig. 10.

BD qui paffe par le centre du Cercle; coupe la ligne AC perpendiculairement ; cela étant, je dis qu'elle la coupe auffi en deux également.

Pour le prouver. Puifque les lignes EA, EC, font égales par la définition du Cercle, les angles EAC & ECA font égaux (par 5. du 1.) d'ailleurs puifque la ligne BF eft perpendiculaire à la ligne AC, les deux angles EFA, EFC font auffi égaux; fi bien que les deux Triangles EFA, EFC ont deux angles égaux chacun au fien, ainfi ils les auront tous trois égaux & comme le côté EF qui eft commun aux deux triangles, foutient des angles égaux; il s'enfuit (par la 26. du 1.) que le côté AF eft égal au côté FC. C. Q.F.D.

PROPOSITION IV.

PROBLEME.

Trouver le centre d'un Cercle.

OUR trouver le centre du Cercle Po X, tirez la corde CD, laquelle étant divifée en deux également au point E, il faut y élever la perpendiculaire EF, qui yenant aboutir à la circonference, fera

le diametre du Cercle (par la précedente.) Cela étant, elle doit paffer par le centre; fi on divife donc cette ligne en deux également au point H, on aura ce qu'on cherche.

PROPOSITION V & VI,

THEOREM E.

Les Cercles qui fe touchent, non plus que ceux qui fe coupent en dedans, n'ont pas

[ocr errors]

le même centre.

Left bien évident (par la Définition 2. & par la Prop. 1.) que fi deux Cercles fe coupent, leurs circonferences ne feront point paralleles, n'étant point concentriques cela étant, ils ne peuvent avoir le même centre; pareillement s'ils fe touchent en dedans, leurs circonferences ne feront point paralleles ; or n'étant point paralleles, ils ne peuvent avoir le même centre.

[ocr errors]

Nous pafferons les propofitions 7, & 8. comme étant peu confiderables.

Fig. 11.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

D'un point pris dans un Cercle, qui n'eft pas le centre, on ne peut tirer que deux lignes égales à la circonference, & il n'y a que du centre qu'on puiffe en tirer trois,

J

E dis que du point A on ne peut tirer que deux lignes égales à la circonference, & pour le prouver, faites que l'angle CBA foit égal à l'angle ABD. Tirez auffi les lignes CA & AD.

Démonftration.

Nous avons deux Triangles qui ont chacun un angle égal par la conftruction. Le côté AB eft commun, & les lignes CB. & BD font égales, ayant été tirées du centre B; donc (par la 4.) les bafes CA & AD feront égales; ainfi voilà deux lignes droites menées du point A à la circonference, qui font égales. Mais qu'on ne puiffe pas mener une troifiéme égale aux deux autres, cela eft évident; car cette ligne approchera, ou s'éloignera plus ou moins du point F, que ne font les lignes CA & AD, ce qui caufera l'inéga

lité. Il n'y a donc que du centre B d'où l'on puiffe tirer à la circonference plus de deux lignes égales. C. Q. F. D.

PROPOSITION X.

THEOREME.

Si deux Cercles fe coupent, ils ne peuvent
Se couper qu'en deux points.

E fuppofe que les deux Cercles ABDE Fig. 137 & FBCE fe coupent l'un l'autre ; cela étant, je dis qu'ils ne fe peuvent couper qu'en deux points. Suppofons néanmoins, s'il eft poffible, qu'ils fe coupent l'un l'autre aux trois points A, B, D; cela pofé, trouvez (par la 4.) le centre H du Cercle ABDE; puis du centre menez aux trois points où ces Cercles fe coupent, les rayons HA, HB & HD.

Démonftration.

Le point H étant le centre du Cercle ABDE, les lignes qu'on vient de tirer à fa circonference font égales entr'elles; mais ces trois lignes là vont auffi fe terminer à la circonference du Cercle FBCE; il s'enfuivroit donc que le point H feroit le centre commun de ces deux Cer

« AnteriorContinuar »