Pl. 1. Fig. 16.

Pl. 1.

8. Les lignes & les angles égaux, étant mis l'un fur l'autre, ne fe furpaffent pas. 9. Le tout eft plus grand que fa partic. 10. Tous les angles droits font égaux

entr'eux.

L'onziéme Maxime d'Euclide porte que, fi les lignes AB, CD, forment avec la ligne EF, qui les coupe toutes deux, des angles internes BEF, DFE, plus petits que deux droits, ces lignes AB, CD étant prolongées, fe rencontreront vers B & D.

Quoique cette Maxime foit véritable, elle n'eft pas affez claire pour être reçûë pour Maxime: ainfi j'en fubftitue une autre en fa place.

II. Si deux lignes font paralleles, toutes les perpendiculaires renfermées entreelles feront égales.

Comme, fi les lignes AB, CD font pa Fig. 17• ralleles, les lignes perpendiculaires FE HG, font égales. Car fi EF étoit plus grande que GH; les lignes AB, & CD feroient plus éloignées entre elles vers les points E&F, que vers G, & H: ce qui feroit contre la définition des paralleles, laquelle porte, qu'elles ont par tout la même distance, mefurée par des perpendiculaires.

12. Deux lignes droites, ne compren

nent pas une espace : c'est-à-dire, ne l'enferment, & ne l'entourent pas de tous côtez.

Fig. 18.

13. Deux lignes droites, n'ont pas un Pl. r fegment commun: Je veux dire que des deux lignes droites AB, CB qui fe rencontrent au point B, il ne fe fait pas une feule ligne BD; mais qu'elles fe coupent, & Se Jeparent après s'être rencontrées en B. Car fi on décrit un Cercle du point B comme centre, AFD feroit un demi Cercle, puifque la ligne droite ABD, paffant par le centre B, divife le cercle en deux également. Le fegment CFD feroit auffi un demi Cercle, puifque CBD feroit auffi une ligne droite qui pafferoit par le centre B: Donc le fegment CFD feroit égal au fegment AFD, la partie à fon tout ce qui feroit contraire à la neuviéme Maxime, AVERTISSEMENT.

Nous avons deux fortes de Propofitions: quelques-unes ne font que confiderer une verité, fans defcendre à la pratique; & nous les appellons Théoremes. Les autres nous propofent quelque chofe à faire; & on les appelle Problemes.

Le premier nombre des citations, eft celui de la propofition: Le fecond marque le Livre. Comme par la 2. du 3. fignifie, par la feconde Propofition du troifiéme Livre. Que

Pl. I.

fi on ne rencontre qu'un nombre, il fignifie la Propofition du Livre que l'on explique.

PROPOSITION I.

PROBLEME.

Tracer un Triangle équilateral fur une ligne donnée.

Q

U'on propofe la ligne AB pour bafe d'un Triangle équilateral. Décrivez du centre A, & de l'intervalle AB, le Cercle CBD: Décrivez auffi du centre B, & de l'intervale BA, le Cercle DAC, qui coupe le premier au point C. Tirez enfuite les lignes AC, BC. Je dis que tous les côtez du Triangle ABC font égaux. Demonftration.

à

Les lignes AB, AC, tirées du même Fig. 19 centre A, à la circonference du Cercle CBD, font égales par la définition du Cercle: les lignes BA, BC font auffi égales, puisqu'elles font tirées du centre B, la circonference du Cercle CAD: enfin les lignes AC, BC étant égales à la même ligne AB, font auffi égales entre-elles par le premier Axiome. Donc les trois côtez du Triangle ABC font égaux.

USAGE.

On peut fe fervir très - utilement du Pl. 27 Triangle équilateral pour trouver une dif- Fig. 20. tance inacceffible, telle que la largeur d'une Riviere. Il faudroit pour cela décrire un Triangle équilateral fur une planche, & s'en fervir en cette forte: le Triangle BDE étant pofe horisontalement, obfervez un point A au-delà de la Riviere, par le côté BD, & quelque autre point C, par le côté BE: tranfportez votre Triangle le long de la ligne BC, & faites en forte de pouvoir le placer dans un endroit, où vous puissiez le long des côtez CG & CF, voir les B&A. Je fuppofe qu'on y foit parvenu, que le point C foit celui qu'on cherche ; cela etant on aura le Triangle équilateral AB C, dont le côté BC peut fe connoître. On peut auffi connoître la diftance DF, qui étant parallele à BC peut passer pour la bafe du Triangle équilateral DAE, lequel étant rapporte fur le papier par le moyen d'une Echelle, on peut trouver la perpendiculaire AN, qui eft la distance qu'on cherche.

points

من

PROPOSITION II. & III.

PROBLEME.

1. Tirer d'un point donné une ligne égale à un autre. 2. Couper d'une grande ligne une partie égale à une plus petite.

Fig. 21. Sre une ligne égale à la ligne A; preI l'on veut du point donné B, décri nez avec le Compas la longueur de cette ligne, & du point donné B comme centre décrivez un Cercle. Puis ayant tiré une ligne BD du centre à la circonference elle fera égale à la donnée A par la définition du Cercle.

Maintenant fi l'on veut de la grande ligne BC, retrancher une partie égale à la ligne A, il ne faut que prendre la longueur de cette ligne avec le Compas, & de l'extrêmité B comme centre décrire un Cercle, qui ayant coupé la ligne BC, on aura la partie BI, qui eft ce qu'on demande.

USAGE.

On eft fouvent obligé de faire une ligne égale à une autre, retrancher d'une grande ligne une partie égale à une plus

petite,