Pl. 1. Fig. 16.

Pl. 1.

8. Les lignes & les angles égaux, étant mis l'un sur l'autre, ne se surpassent pas. 9. Le tout est plus grand que sa partie. 10. Tous les angles droits sont égaux entr'eux.

L'onziéme Maxime d'Euclide porte que, fi les lignes AB, CD, forment avec la ligne EF, qui les coupe toutes deux, des angles internes BEF, DFE, plus petits que deux droits, ces lignes AB, CD étant prolongées, se rencontreront vers B & D.

Quoique cette Maxime soit véritable, elle n'est pas affez claire pour être reçûë pour Maxime : ainsi j'en substitue une autre en fa place.

11. Si deux lignes sont paralleles, toutes les perpendiculaires renfermées entreelles feront égales.

Comme, fi les lignes AB, CD font pa Fig. 17. ralleles, les lignes perpendiculaires FE, HG, font égales. Car si EF étoit plus grande que GH; les lignes AB, & CD Jeroient plus éloignées entre elles vers les points E&F, que vers G, & H: ce qui feroit contre la définition des paralleles, laquelle porte, qu'elles ont par tout la même distance, mesurée par des perpendiculaires.

12. Deux lignes droites, ne compren

nent pas une espace: c'est-à-dire ne

l'enferment, & ne l'entourent pas de tous

côtez.

13. Deux lignes droites, n'ont pas un Pl. r. segment commun: Je veux dire que des Fig. 18, deux lignes droites AB, CB qui se rencontrent au point B, il ne se fait pas une feule ligne BD; mais qu'elles se coupent, & se Separent après s'être rencontrées en B. Car fi on décrit un Cercle du point B comme centre, AFD feroit un demi Cercle, puifque la ligne droite ABD, passant par le centre B, divise le cercle en deux également. Le fegment CFD feroit aussi un demi Cerele, puisque CBD feroit aussi une ligne droite qui passeroit par le centre B: Donc le fegment CFD feroit égal au fegment AFD, la partie a fon tout; ce qui feroit contraire à la neuvième Maxime. AVERTISSEMENT.

Nous avons deux fortes de Propositions : quelques-unes ne font que confiderer une verité, sans defcendre a la pratique; & nous les appellons Théoremes. Les autres nous proposent quelque chose à faire; & on les appelle Problémes.

Le premier nombre des citations, est celui de la proposition: Le second marque le Livre. Comme par la 2. du 3. signifie, par la Seconde Propofition du troifiéme Livre. Que

Pl. 1.

fi on ne rencontre qu'un nombre, il fignifie la Propofition du Livre que l'on explique.

PROPOSITION Ι.

PROBLEME.

Tracer un Triangle équilateral sur une ligne donnée.

U'on propose la ligne AB pour base d'un Triangle équilateral. Décrivez du centre A, & de l'intervalle AB, le Cercle CBD: Décrivez aussi du centre B, & de l'intervale BA, le Cercle DAC, qui coupe le premier au point C. Tirez ensuite les lignes AC, BC. Je dis que tous les côtez du Triangle ABC font égaux. Demonstration.

Les lignes AB, AC, tirées du même Fig. 19. centre A, à la circonference du Cercle CBD, sont égales par la définition du Cercle: les lignes BA, BC font auffi égales, puisqu'elles sont tirées du centre B, à la circonference du Cercle CAD: enfin les lignes AC, BC étant égales à la même ligne AB, font auffi égales entre-elles par le premier Axiome. Donc les trois côtez du Triangle ABC sont égaux.

USAGE.

On peut se fervir très - utilement du Pl. 21 Triangle équilateral pour trouver une dif-Fig. 20. tance inaccessible, telle que la largeur d'une Riviere. Il faudroit pour cela décrire un Triangle équilateral fur une planche, & s'en fervir en cette forte: le Triangle BDE étant posé horisontalement, observez un point A au-dela de la Riviere, par le côté BD, & quelque autre point C, par le côté BE: transportez votre Triangle le long de la ligne BC, & faites en forte de pouvoir le placer dans un endroit, où vous puissiez le long des cótez CG & CF, voir les points B& A. Je suppose qu'on y foit parvenu, que le point C foit celui qu'on cherche ; cela etant on aura le Triangle équilateral AB C, dont le côté BC peut se connoître. On peut auffi connoître la distance DF, qui étant parallele à BC peut passer pour la base du Triangle équilateral DAE, lequel étant rapporte fur le papier par le moyen d'une Echelle, on peut trouver la perpendiculaire AN, qui est la distance qu'on cherche.

Fig. 21.

PROPOSITION II. & III.

PROBLEME.

1

1. Tirer d'un point donné une ligne égale
à un autre. 2. Couper d'une grande li-
gne une partie égale à une plus petite.

S
I l'on veut du point donné B, décri-
re une ligne égale à la ligne A; pre-
nez avec le Compas la longueur de cette
ligne, & du point donné B comme cen-
tre décrivez un Cercle. Puis ayant tiré
une ligne BD du centre à la circonferen-
ce elle sera égale à la donnée A par la
définition du Cercle.

Maintenant si l'on veut de la grande ligne BC, retrancher une partie égale à la ligne A, il ne faut que prendre la longueur de cette ligne avec le Compas, & de l'extrêmité B comme centre décrire un Cercle, qui ayant coupé la ligne BC, on aura la partie BI, qui est ce qu'on de mande.

USAGE.

On est souvent obligé de faire une ligne égale à une autre, retrancher d'une grande ligne une partie égale à une plus petite,