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AC & CB pris enfemble, font plus grands que le troifiéme AB(par la 20. du 1.) or comme ces deux côtez CB & AC font égaux à la ligne DE, il s'enfuit cette ligne DE fera plus grande que AB.

I que

Préfentement confiderez que plus les extrêmitez A & B des rayons AC & CB approcheront de D & de E, plus l'angle ACB fera ouvert ; & par conféquent le côté AB deviendra plus grand, étant oppofé à un angle plus ouvert ; donc plus une ligne approche du centre, plus elle excede fur une autre qui en eft plus éloignée.

USAGE.

Cette Propofition peut fervir confidera blement pour connoître le rapport des Cercles paralleles qui font decrits fur une fphere, trouver combien ceux qui font renfermez entre le Pole l'Equateur, font plus petits que celui qui a pour diametre celui de la Sphere.

Fig. 20.

PROPOSITION XVI.

THEOREM E,

Une ligne perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon, touche le Cercle, & ne le touche qu'à un feul point,

JE

E dis que fi la ligne BD eft perpendiculaire fur le rayon BK, elle ne touchera le Cercle qu'au feul point B, Demonftration.

Pour démontrer que la ligne BD, ne peut toucher le Cercle à un fecond point C; je mene une ligne de K en C; après quoi je dis que le point C de la touchante ne peut toucher le Cercle: car pour démontrer qu'il le touche, il faudroit faire

que
les lignes BK & KC foient égales; ce
qui ne peut être : car (par la 47. du 1.)
le Triangle CBK étant rectangle en B,
le quarré BK fera toûjours plus petit que
le quarré de l'hypotenufe KC, & par con-
féquent la ligne KC fera plus grande que
le rayon BK. Ce qui fait voir que le point
C eft au-delà de la circonference; & que
la ligne BD ne touche le Cercle qu'au
feul point B. C. Q. F. D,

PROPOSITION XVII.

PROBLEME.

D'un point pris hors d'un Cercle, tirer une ligne qui le touche.

Oit A le point donné duquel il faut pl. r

,

après avoir tiré la ligne AB, de A en B centre du Cercle X; il faut décrire fur cette ligne comme diametre le demiCercle ABC, & au point de fection C, mener AC qui fera la Tangente qu'on cherchoit. La démonstration en eft facile, comme on le verra dans la Propofition 31, où l'on prouve qu'un angle tel que BCA qui eft renfermé dans un demi-Cercle eft droit. Cela étant, la ligne CA fera démontrée être la Tangente, fi elle eft perpendiculaire fur le rayon BC, par la Propofition précedente.

Je ne me fuis point fervi de la méthode d'Euclide pour réfoudre ce Problême m'ayant paru trop compofée.

USAGE.

Il est neceffaire de fçavoir mener une Tangente à un Cercle par un point donné,

Pl. 2. Fig. 20.

ear l'ufage en eft fort étendu dans la Trigonometrie; c'est ce qui a obligé les Geometres d'en faire des Tables qui fervent à mefurer toutes fortes de Triangles, même les Spheriques.

PROPOSITION XVIII.

THEOREM E.

La ligne tirée du centre d'un Cercle, au point où une ligne droite le touche, est perpendiculaire à la méme ligne.

BD eft une Tangente, & je tire du

centre K, le rayon KB, que je dis être perpendiculaire fur la Tangente au point B où elle touche le Cercle.

Demonftration.

On peut connoître aifément (par la 16.) que puifqu'une ligne Tangente à l'extrêmité du rayon d'un Cercle, eft

perpendiculaire fur le même rayon, elle le fera pareillement, fi l'on tire une ligne du centre au point d'attouchement; car la ligne KB étant la plus courte qu'on peut tirer du point K au point B, il eft aifé de voir que toute autre ligne qu'on tireroit du point K d'un côté ou d'autre, du point

B ne feroit point perpendiculaire, puif-
que
d'un point donné hors d'une ligne, on
n'en peut tirer qu'une perpendiculaire.

La Propofition 19. d'Euclide n'étant qu'une répetition de la précedente, j'en ai fubftitué une autre qui fervira comme de Lemme à celles qui fuivent.

PROPOSITION XIX.

THEOREMЕ.

Si la Tangente d'un Cercle fait avec la Cor de d'un arc, un angle au point d'attouchement, l'angle aura pour mesure la moitié de cet arc.

J E veux prouver que l'angle BAC for

mé par la Tangente AB, & la Corde AC, a pour mesure la moitié de l'arc AFC. Tirez du centre D, la ligne DA fur le point d'attouchement, laquelle_fera perpendiculaire fur la Tangente. Tirez pareillement DF perpendiculaire fur la Corde AC, laquelle fera divifée en deux également au point E.

Démonstration.

L'angle BAD eft droit (par la 16.) & le Triangle ADE eft rectangle ayant l'ang

Fig. 2

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