Imágenes de páginas
PDF
EPUB

gle droit E; cela étant, les angles EAD & ADE vaudront un droit. Or l'angle DAE ne peut valoir un droit qu'en lui ajoûtant l'angle CAB, ou ADE; il s'enfuit donc que les angles ADF & CAB font égaux; & comme l'angle ADF a pour mesure l'arc AF qui eft la moitié de l'arc AC, je conclus que l'angle BAC qui lui eft égal, aura auffi pour mesure la moitié de l'arc AC. C. Q. F. D.

PROPOSITION XX.

THEOREME.

[ocr errors]

L'angle qui a fon fommet à la circonferen ce d'un Cercle, a pour mesure la moitié de l'arc fur lequel il s'appuye, l'angle du centre eft double de celui de la circonference.

Fig. 22. O pour mefure la moitié de Parc BC;

N veut prouver que l'angle BAC

& que cet angle BAC qui eft à la circonference, eft moitié de l'angle O qui eft au centre. Tirez par le fommet de l'angle A, la Tangente DE.

Démonftration.

La Tangente DE fait trois angles dont

le point angulaire commun eft A, ces angles DAB, BAC, & CAE font égaux à deux droits c'est-à-dire, quils auront ensemble pour mefure la moitié de la circonference du Cercle, qui eft la même chofe que les moitiez des arcs AB, BC, & CA; mais l'angle DAB a pour mefure la moitié de l'arc AB; & l'angle EAC la moitié de l'arc AC par la précedente; donc l'angle BAC a pour mefure la moitié de l'arc BC.

Enfin l'angle du centre O, eft double de l'angle BAC, qui eft à la circonference; ce qui eft bien évident, car l'angle du centre a pour mefure l'arc CB; & on sçait que l'angle BAC n'en a que la moitié ; donc l'angle O eft double de l'angle BAC. C. Q. F. D.

USAGE.

On fe fert très-utilement de cette Prope fuion dans l'Aftronomie pour determiner l'apogée du Soleil, & Pexcentricité de fon Cercle, par trois obfervations. On fuppoSe pour cela que l'angle du centre eft double de celui de la circonference. Ptolomée s'en fert fort bien pour déterminer l'Epycicle de la Lune. On peut voir dans notre Traité de Trigonometrie combien cette Propofition eft confiderable, & on peut dire que c'est une des belles proprietez du Cercle.

Fig. 23.

Fig. 24.

PROPOSITION XXI.

THEOREM E.

Les angles qui font dans les mêmes fegmens de Cercle, ou qui ont les mémes arcs pour bafes, font egaux.

N peut prouver aifément que les argles C & B font égaux, puifque s'appuyant fur l'arc DAE, ils ont chacun pour mesure la moitié de ce même arc.

Après avoir demontre que l'angle de la circonference a pour mesure la moitié de Parc fur lequel il s'appuye; confiderons les angles qui peuvent fe former dans un Cercle, dont le fommet n'est ni au centre, ni à la circonference, c'est ce que nous allons voir dans les deux Corollaires fuivans.

COROLLAIRE 1..

Voici l'angle ABC qui n'eft ni au cen tre, ni à la circonference; on demande quelle eft la partie du Cercle qui peut déterminer fa mefure. Prolongez les côtez AB, BC jufqu'à la circonference EF: je dis que cet angle aura pour mefure la moitié de l'arc AC, plus la moitié de l'arc EF; ayant tiré la ligne FC, on aura le

Triangle BCF. On fçait que l'angle exterieur ABC eft égal aux deux autres interieurs F & C (par la 32. du 1.) or comme cet angle exterieur eft celui dont nous cherchons la mesure; il est évident que la mesure des angles F & C pris ensemble, fera ce qu'on demande. Or la mesure de l'angle AFC, eft la moitié de l'arc AC; & celle de l'angle ECF, eft la moitié de l'arc EF, donc la moitié de ces deux arcs pris ensemble fera la mesure de l'angle ABC.

COROLLAIRE. II.

Voici un angle hors du Cercle dont les Fig. 2 côtez viennent fe terminer fur la circonference concave. On demande encore quelle eft la partie du cercle qui doit mefurer l'angle BAC; je dis que c'eft la moitié de l'arc BC, moins la moitié de l'arc DE; ayant tiré la ligne DC, on aura le Triangle DAC, dont l'angle exterieur BDC eft égal aux deux autres interieurs A & C. Or comme l'angle BDC moins l'angle C, eft égal à l'angle A; & que la mesure de l'angle BDC, eft la moitié de l'arc BC; & celle de l'angle C eft la moitié de l'arc DE, il s'enfuit qu'en ôtant la moitié de cet arc DE, de la moitié de l'arc BC, la difference fera la mefure de l'angle A.

Fig. 26.

PROPOSITION XXII

THEOREM E.

Les figures quadrilateres infcrites dans un Cercle, ont les angles oppofez égaux à deux droits.

Left aifé de démontrer que les deux angles oppofez A & C pris enfemble, valent deux droits; car l'angle A ayant pour mesure la moitié de l'arc BCD, & l'angle Cayant pareillement pour mesu→ re la moitié de l'arc BAD: ces deux angles auront donc pour mefure la moitié de la circonference du Cercle, & comme cette moitié eft la mesure des deux droits, il s'enfuit que les angles A & C, vaudront deux droits; par la même raifon les deux B & D vaudront auffi deux droits.

USAGE.

On peut par cette Propofition prouver que les deux côtez d'un Triangle obtufangle ont entr'eux la même raison que les Sinus des angles oppofez. Ce que j'ai démontré clairement dans notre Traité de Trigonometrie.

« AnteriorContinuar »