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paffe par le centre F, comme AC, & di- Fig. 534 vife la ligne BD en deux également au point E; je dis que le rectangle compris fous AE, EC, est égal au rectangle compris fous BE, ED, c'est-à-dire au quarré de BE, la ligne AC est perpendiculaire, à BD (par la 3.)

Démonftration.

Puifque la ligne AC eft divifée égale- Fig. 334 ment en F, & inégalement en E; le rectangle compris fous AE, EC, avec le quarré de EF, eft égal au quarré de FC, ou FB (par la 5. du 2.) Or l'angle E étant droit, le quarré FB est égal aux quarrez de BE, EF. Donc le rectangle compris fous AE, EC avec le quarré de EF, eft égal aux quarrez de BE, EF : & ôtant de part & d'autre le quarré de EF refte que le quarré de BE eft égal au rectangle fous AE & EC.

Troifiémement, que la ligne AB paffe Fig. 34 par le centre F, & qu'elle divife inégalement la ligne CD au point E. Tirez du centre GF perpendiculaire à CD : & ( par la 3.) les lignes GC, GD feront égales. Démonftration.

Puifque la ligne AB est divisée également en F, & inégalement en E, le rectangle compris fous AE, EB, avec le quarré de EF, eft égal au quarré de BF5

Fig. 34.

ou FC (par la 5. du 2.) au lieu de EF; mettez les quarrez FG, GE qui lui font égaux (par la 47. du 1.) pareillement la ligne CD étant divifée également en G, & inégalement en E; le rectangle CE, ED, avec le quarré de GE, fera égal au quarré de GC. Ajoutez le quarré de GF, le rectangle CE, ED, avec les quarrez de GE, FG, fera égal aux quarrez de GC, GF; c'eft-à-dire (par la 47. du 1.) au quarré de CF: donc le rectangle AE, EB avec les quarrez de GE, GF; & le rectangle de CE, ED avec les mêmes quarrez font égaux : & par conféquent ôtant ces mêmes quarrez, le rectangle AE. EB, eft égal au rectangle CE, ED.

Quatrièmement, que les lignes CD; HI, fe coupent au point E, & que ni l'une ni l'autre ne paffe par le centre. Je dis que le rectangle CE, ED, égal au rectangle HE, EI. Car tirant la ligne AFB, les rectangles CE, ED, HE, EI font égaux au rectangle AE, EB (par le cas précedent, donc ils font égaux entr'eux.

USAGE.

Fig. 33. On peut par le fecond cas de cette Propo fition, trouver aifement le diametre d'un arc de Cercle, dont on connoît la Corde & la perpendiculaire élevée fur fon milieu. Soit par exemple l'arc du Cercle BCD, fi l'on

connoît

connoît la Corde BD après l'avoir divifee par le milieu au point E, ayant élevé la perpendiculaire CE que je fuppofe être de 4. pieds, & la Corde BD de 12. il faut prendre la moitié de la Corde, & la multiplier par elle-même, c'est-à-dire, multiplier 6 par 6, le produit 36 étant divife par 4, valeur de la perpendiculaire, on aura 9 pour quotient, qui fera la difference du diametre à la perpendiculaire. Donc fi l'on ajoute le quotient au divifeur, on aura 13 valeur du diametre. Cette pratique eft très-utile, comme je l'ai déja dit, pour trouver la valeur des portions de Cercle quand on veut faire le toife des voutes qui font de cette nature.

PROPOSITION XXXVI. ·

THEOREME.

Si d'un point pris hors d'un Cercle on tire une ligne Tangente, & une autre qui aille fe terminer fur la circonference concave, le quarré de la touchante fera égal au rectangle compris fous toute la ligne qui coupe le Cercle, & fous la partie exterieure.

Ι

SI du point A hors du Cercle, on tire Fig. 35.

la Tangente AB, & la Secante AC,
que le quarré de la Tangente AB

je dis

N

eft égal au rectangle compris fous toute la ligne AC, & la partie exterieure AD. Suppofons en premier lieu, que cette ligne paffe par le centre E, tirez la ligne EB perpendiculaire fur le point d'attou

chement B.

Démonftration.

Fig. 35. Le Triangle ABE eft rectangle en B, puifque le rayon BE a été tiré perpendiculaire fur le point d'attouchement ; la ligne DC eft divifée également au point E; on lui a ajoûté la ligne AD. Donc (par la 6. du 2.) le rectangle compris fous la compofée des deux, & fous l'ajoûtée AD, avec le quarré du milieu DE, fera égal au quarré de AE; or ce quarré est égal aux deux autres AB & BE; comme le quarré DE eft égal au quarré BE, puifqu'ils font les rayons du Cercle ; il s'enfuit donc que le quarré DE eft commun au rectangle compris fous AC & AD, & au quarré AB: cela étant, fi on ôte à tous deux ce quarré du milieu, le rectangle fera égal au quarré de la touchante.

Suppofons maintenant que la ligne AC ne paffe point par le centre, & qu'elle ait prife la fituation de la ligne AH; cela étant, je dis encore que le rectangle de AH, AF est égal au quarré de AB. Pour le prouver, menez du centre E au point B la ligne droite EB; cette ligne (par la 18.)

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fera perpendiculaire à AB; de ce même centre abaiffez la ligne EG perpendiculaire à AH, cette ligne EG (par la 3.) coupera la partie FH, qui eft dans le Cercle en deux également. Enfin de ce mê- Fig. 353 me point menez les deux lignes droites EF, EA, cela pofé.

Puifque la ligne FH eft coupée en deux parties égales au point G, & que la ligne AF lui eft ajoûtée ; il s'enfuit (par la 6. du 2.) que le rectangle compris de AH, AF, avec le quarré de GF, eft égal au quarré de GA; fi donc à ces deux touts. qui font égaux, on ajoûte le quarré de GE, il s'enfuivra que le rectangle de AH, AF, & les deux quarrez de GF & de GE feront égaux aux deux quarrez de GE & de GA. Or les deux quarrez de GF & de GE font égaux au quarré de EF, ou de fon égal EB (par la 47. du 1.) & de même les deux quarrez de AG & de GE font égaux au quarré de EA; fi donc au lieu des deux quarrez de GF & de GE, on prend le quarré de EB; & au lieu des deux quarrez de GA & de GE, on prend le quarré de EA ; il s'enfuivra que le rectangle compris de AH, AF, avec le quar ré de EB, fera égal au quarré de EA. Mais les deux quarrez de AB & de EB font auffi égaux au quarré de EA (par la Fig. 16

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