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5·3535353535

LIVRE

QUATRIE'ME.

DES ELEMENS

D'EUCLIDE.

E quatriéme Livre eft fort utile dans la Trigonometrie; puifqu'en infcrivant les polygones dans un Cercle, nous avons des pratiques pour faire la Table des fouftendantes, des Sinus, des Tangentes;

des Secantes, laquelle est très-neceffaire pour toute forte de mefurages.

Secondement, en inferivant des polygones dans un Cercle, nous avons les divers afpects des aftres, qui prennent leurs noms des mêmes polygones.

Troifiémement, cette même pratique nous donne la quadrature du Cercle, autant jufte qu'on en peut avoir befoin. Nous démontrons encore que les Cercles font en raifon doublée de leur diametre.

Quatrièmement, l'Architecture militaire a befoin d'infcrire des polygones dans un Cercle, pour faire le deffein des Fortifi cations regulieres.

Pl. 1. Fig. 1.

Pl. 1.

Fig. 2.

LES DEFINITIONS.

UN

NE figure rectiligne eft infcrite dans un Cercle; ou le Cercle eft décrit autour de la figure, lorfque tous fes angles font en la circonference du même Cercle. Comme le Triangle ABC eft infcrit dans un Cercle, & le Cercle eft décrit autour du Triangle ; parce que les angles A, B, C, aboutiffent à fa circonfe rence. Le Triangle DEF n'eft pas infcrit dans le Cercle, parce que l'angle D, n'aboutit pas à la circonference du Cercle.

II. Une figure rectiligne eft décrite autour d'un Cercle, & le Cercle eft infcrit au dedans de cette figure, quand tous les côtez de la figure touchent la circonference du Cercle. Comme le Triangle GHI, eft décrit autour du Cercle KLM, à cause que fes côtez touchent la circonference du Cercle en K, L, M.

III. Une ligne eft ajoûtée, ou infcrite dans un Cercle, lorfque fes deux bouts touchent la circonference du Cercle: Comme dans la figure précedente, la ligne NO. La ligne RP n'eft pas infcrite dans le Cercle.

PROPOSITION I.

PROBLEM E.

Infcrire dans un Cercle une ligne donnée qui ne foit pas plus grande que fon dia

metre.

O de AEBD, une ligne qui ne fur-Fig. 3.

N propofe d'infcrire dans un Cer- P1. 1.

paffe pas fon diametre. Prenez fa longueur fur le diametre, & que ce foit, par exemple BC. Mettez le pied du Compas au point B, & décrivez un Cercle à l'ouverture BC, qui coupe le Cercle AEBD en D & E. Tirez la ligne BD, ou BE. Il est évident qu'elles font égales à BC, par la définition du Cercle.

USAGE.

Cette Propofition eft neceffaire pour la pratique de celles qui fuivent.

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PROPOSITION II.

PROBLEME.

Infcrire dans un Cercle un Triangle équiangle à un autre..

N propofe le Cercle EGH dans lequel on veut infcrire un Triangle équiangle au Triangle ABC. Tirez la touchante FED (par la 17. du 3.) & faites au point de l'attouchement E, l'angle DEH, égal à l'angle B; & l'angle FEG égal à l'angle C, (par la 23. du 1.) Tirez la ligne GH, le Triangle GEH fera équiangle à ABC.

Demonftration.

L'angle DEH eft égal à EGH, du segment alterne (par la 3 2. du 3.) Or l'angle DEH a été fait égal à l'angle B ; & par confequent les angles B & G font égaux. Les angles C.& H,font auffi égaux, par la même raison ; & ( par le Corol. 2. de la 32. du 1.) les angles A & GEH feront égaux. Donc les Triangles EGH, ABC font équiangles.

USAGE.

Cette Propofition fert pour inferire dans

un Cercle, un Pentagone un Pentedecagone, comme vous verrez dans les Propofations XI. & XVI.

PROPOSITION III.

PROBLEM E.

Décrire autour d'un Cercle, un Triangle équiangle à un autre.

Sk

I on veut décrire autour du Cercle G P11 Fig. 6. KH, un Triangle équiangle à ABC, & 7, il faut continuer un des côtez BC, en D & en F, & faire l'angle GIH égal à l'angle ABD HIK égal à l'angle ACF : puis tirer les Tangentes LGM, LKN, NHM, par les points G, K, H. Les Tangentes fe rencontreront; car les angles IKL, IGL étant droits, fi on tiroit la ligne KG, qui n'eft pas tirée, les angles KGL, GKL feroient plus petits que deux droits : donc (par l'onziéme axiome, ) les lignes GL, KL doivent concourir.

Demonftration.

Tous les angles du quadrilatere GIHM; font égaux à quatre droits, puifqu'il peut être partagé en deux Triangles : les angles IGM, IHM, que font les Tan

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