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Pl. 1.

8.

gentes, font droits; donc les angles M & I valent deux droits, auffi bien que les angles ABC, ABD. Or l'angle GIH, eft égal à l'angle ABD: Donc l'angle M fera égal à l'angle ABC. Par la même raison, les angles N & ACB font égaux : & ainfi les Triangles LMN, ABC font équiangles.

PROPOSITION. IV.

PROBLEM E.

Infcrire un Cercle dans un Triangle.

I vous voulez infcrire un Cercle dans

Fig. 3. Sle Triangle ABC: divifez en deux également les angles ABC,ACB (par la 9. du 1. (tirant les lignes CD, BD, qui concourent au point D. Tirez enfuite du point D, les perpendiculaires DE, DF, DG, lefquelles feront égales, de forte que le Cercle décrit du centre D, à l'ouverture DE, paffera par F & G.

Démonftration.

Les Triangles DEB, DBF ont les angles DEB, DFB égaux, puifqu'ils font droits les angles DBE, DBF font auffi égaux, l'angle ABC ayant été divifé en deux également: le côté DB eft commun:

Donc (par la 26. du 1.) ces Triangles feront égaux en tout fens ; & les côtez DE, DF feront égaux. On peut démontrer de la même façon, que les côtez DF, DG font égaux. On peut donc décrire un Cercle qui paffe par les points E, F, G:& puifque les angles E, F, G font droits, les côtez AB, AC, BC, touchent le Cercle, qui fera par consequent infcrit dans le Triangle.

COROLLAIRE.

Il fuit de la pratique de ce Problême; que les trois lignes qui divifent en deux également les angles d'un Triangle, fe rencontrent au dedans du Triangle en un même point, parce que le centre du Cercle inf crit eft dans chacune. Il en eft de même des trois lignes,qui divifent en deux également les côtez oppofez, puifque le centre de vité du Triangle eft dans chacune, com me on le démontre dans la Mécanique.

PROPOSITION V.

PROBLEM E.

gra

Décrire un Cercle autour d'un Triangle.

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SI vous voulez décrire un Cercle autour du Triangle ABC; divifez les Fig. 9

Pl. I.

ig. 10.

côtez AB, BC en deux également, en I & E, & fur ces points élevez des perpen diculaires DF, EF, qui concourent at point F. Si vous décrivez un Cercle d centre F, à l'ouverture FB, il paffera pa A & C; c'eft-à-dire, que les lignes FA FB, FC, font égales.

Demonstration.

Les Triangles ADF, BDF, ont le côté DF commun & les côtez AD, DB ég gaux; puifque le côté AB a été divifé également les angles en D font égaux, étant droits Donc (par la 4. du 1.) les bafes AF, BE font égales:comme auffi les bafes BF, CF USAGE.

Nous avons fouvent befoin d'infcrire l Triangle dans le Cercle; comme dans la pre miere Propofition du troifteme Livre de ma Trigonometrie. Cette pratique eft auffi neceffaire pour mesurer l'aire d'un Triangle, &en plufieurs autres rencontres.

PROPOSITION VI,

PROBLEM E.

Infcrire un quarré dans un Cercle.

Our infcrire un quarré dans un Cercle ACBD;tirez au diametre AB, la

endiculaire DC, qui paffe par le cenE. Tirez auffi de l'extrêmité d'un diare à l'extrêmité de l'autre, les lignes , CB, BD, AD: & vous aurez infcrit s le Cercle le quarré ACBD.

Demonftration.

es Triangles AEC, CEB ont les côAE, EC égaux aux côtez EC, EB, & angles AEC, CEB égaux, puifqu'ils t droits. Donc les bafes AC, CB font les (par la 4. du 1.) De plus, puifles côtez AE, CE font égaux, les gles EAC, ECA feront égaux : & l'anE étant droit, ils feront chacun demiits, ( par la 32. du 1.) Ainfi l'anECB eft la moitié d'un droit. Par fequent, l'angle ACB fera droit. Il eft de même de tous les autres : Donc figure ACBD eft un quarré.

PROPOSITION VII.

PROBLEME.

Décrire un quarré autour d'un Cercle.

Yant tiré les deux diametres AB, Pl. rà CD, qui fe coupent perpendiculai-Rig. 11, ent au centre E: tirez les touchantese

4

FG, GH, HI, FI par les points A, D,
B, C; & vous aurez décrit un quarre
FGHI, autour du Cercle ACBD.

Demonftration.

Les angles E & A font droits: Donc (par la 28. du 1.) les lignes FG,CD font paralleles. Je prouve de la même façon, que CD, HI; FI, AB; AB,GH font pa ralleles. Donc la figure FCDG eft un pa rallelograme : & (par la 34. du 1.) les lignes FG, CD font égales; comme auffi CD, IH, FI, AB, GH; par confequent les côtez de la figure FGHI font égaux. De plus, puifque les lignes FG, CD font paralleles, & que l'angle FCE eft droit, l'angle F, fera auffi droit ( par la 29. du 1. (Je démontre de la même façon, que les angles G, H & I font droits : Donc la figure FGHI eft un quarré, & fes côtez touchent le Cercle.

Pl. 1.

Fig. 11.

PROPOSITION VIII.

PROBLEME.

Inferire un cercle dans un quarré.

I vous voulez infcrire un Cercle dans

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le quarré FGHI, divifez les côtez

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