Pl. 1. Fig. 11. FG, GH, HI, FI par les points A, D Démonstration. Les angles E & A font droits: Donc (par la 28. du 1.) les lignes FG, CD font paralleles. Je prouve de la même façon, que CD, HI; FI, AB; AB, GH font pa ralleles. Donc la figure FCDG est un pa rallelograme : & (par la 34. du 1.) les lignes FG, CD sont égales; comme auffi CD, IH, FI, AB, GH; par confequent les côtez de la figure FGHI sont égaux. De plus, puisque les lignes FG, CD font paralleles, & que l'angle FCE est droit, l'angle F, sera aussi droit (par la 29. du 1. (Je démontre de la même façon, que les angles G, H & I font droits: Donc la figure FGHI est un quarré, & ses côtez touchent le Cercle. S PROPOSITION VIII. Infcrire un cercle dans un quarré. : I vous voulez inscrire un Cercle dans le quarré FGHI, divisez les côtez FG, GH, HI, F par le milieu en A, D, B, C : & tirez les lignes AB, CD, qui se coupent au point E. Je démontre, que les lignes EA, ED, EC, EB sont égales; & que les angles en A, B, C, D, font droits : & qu'ainsi vous pouvez décrire un Cercle du centre E, qui passe par A, D, B, C, & qui touche les côtez du quarré. Démonstration. Puisque les lignes AB, GH conjoignent les lignes AG, BH qui font paralleles & égales, elles feront auffi paralleles & égales: c'est pourquoi la figure AGDE est un parallelograme, & les lignes AE, GD; AG, ED sont égales: & AG, GD étant égales, AE, ED le seront auffi. Il en est de même des autres AE, EC, EB. De plus, AG, CD étant paralleles; & l'angle G étant droit, l'angle D le sera aussi. On peut donc décrire du centre E, le Cercle ADBC qui passera par les points, A, D, B, C, & qui touchera les côtez du quarré. I. Pl. Fig. 12. P PROPOSITION IX. Décrire un Cercle autour d'un quarré. Our décrire un Cercle autour d'un quarré ABFD, tirez les diagonales AF, BD, qui se coupent au point E. Ce point E sera le centre du Cercle, qui paf sera par les points A, F, B, D. Je dois donc démontrer que les lignes AE, FE, BE, DE font égales. Demonstration. Les côtez AB, FB font égaux, & l'angle B eft droit: donc les angles FAB, BFA sont égaux (par la 5. du 1.) & demi-droits, (par la 32. du 1.) Je démon tre de la même façon, que les angles ABD, ADB, FDB, DBF, sont demi droits, ainfi le Triangle AEB, ayant les angles EAB, EBA demi - droits, & par confequent égaux, il aura auffi (par la 6. du 1.) les côtez AE, EB égaux. On démontre de même que les lignes EF, EB; EF, ED font égales. USAGE. Nous montrons dans le douziéme Livre que , que les Polygones decrits dans le Cercle degenerent en Cercle ; & que comme ces Polygones font toujours en raison doublée de leurs diametres, les Cercles le font aussi. Nous avons besoin dans la Geometrie pratique, d'inscrire le quarré, & les autres Polygones, dedans & autour d'un Cercle, pour reduire le Cercle au quarré. PROPOSITION Χ. PROBLEME. Décrire un Triangle Isoscele qui ait les angles fur la base, chacun double du troifieme. Our décrire le Triangle Isoscele ABD chacun des angles ABD; ADB, double de l'angle A; divisez la ligne AB, (par la 1 1. du 2) de forte que le quarré de AC soit égal au rectangle AB, BC. Décrivez du centre A, à l'ouverture AB, un Cercle BD, dans lequel vous inscrirez BD égale à AC. Tirez la ligne DC, & décrivez un cercle autour du Triangle ACD, (par la 5.) Nghi Démonstration. Puisque le quarré de CA, ou BD, eft Pl. r Fig. 13, égal au rectangle compris fous AB, BC; la ligne BD touchera le Cercle ACD, au point D, (par la 37. du 3.) Donc l'angle BDC fera égal à l'angle A, compris dans le segment alterne CAD, (par la 32. du 3.) Or l'angle BCD exterieur, eu égard au Triangle ACD, est égal aux angles A & CDA: donc l'angle ACD est égal à l'angle ADB. De plus l'angle ADB, eft égal à l'angle ABD, (par la 5. du 1.) doncles angles DCB, DBC sont égaux, & (par la 6. du 1.) les côtez BD, DC feront égaux. Et puisque AC est égal à BD, les côtez AC, CD feront égaux, & les angles A & CDA le feront auffi. Donc l'angle ADB est double de l'angle A. USAGE. Ce Problême fert pour le suivant, c'està-dire, pour inscrire un Pentagone régulier dans un Cercle, ou l'on voit que pour y infcrire un Eptagone régulier, il faudroit y inscrire un Triangle Isoscele, on chacun des deux angles à la base, fut triple de l'angle au sommet: mais ce Probleme étant folide, il ne peut pas être résolu par le Cercle & par la ligne droite seulement, c'est à cause de cela qu'Euclide n'en a point parlé. |