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'FG, GH, HI, F par le milieu en A, D, B, C : & tirez les lignes AB, CD, qui se coupent au point E. Je démontre, que les lignes EA, ED, EC, EB font égales; & que les angles en A, B, C, D, font droits : & qu'ainfi vous pouvez décrire un Cercle du centre E, qui paffe par A, D, B, C, & qui touche les côtez du quarré. Démonftration.

Puifque les lignes AB, GH conjoignent les lignes AG, BH qui font paralleles & égales, elles feront auffi paralleles & égales: c'eft pourquoi la figure AGDE eft un parallelograme, & les lignes AE, GD; AG, ED font égales: & AG, GD étant égales, AE, ED le feront auffi. Il en eft de même des autres AE, EC, EB. De plus, AG, CD étant paralleles ; & l'angle G étant droit, l'angle D le fera auffi. On peut donc décrire du centre E, le Cercle ADBC_qui paffera par les points, A, D, B, C, & qui touchera les côtez du quarré.

I.

Pl.
Fig. 12.

PROPOSITION IX.

PROBLLEME.

Décrire un Cercle autour d'un quarré.

Our décrire un Cercle autour d'un quarré ABFD, tirez les diagonales AF, BD, qui fe coupent au point E. Ce point Efera le centre du Cercle, qui paf fera par les points A, F, B, D. Je dois donc démontrer que les lignes AE, FE, BE, DE font égales.

Demonstration.

:

Les côtez AB, FB font égaux, & l'an gle B eft droit donc les angles FAB, BFA font égaux (par la 5. du 1.) & demi-droits, (par la 3 2. du 1.) Je démon tre de la même façon,que les angles ABD, ADB, FDB, DBF, font demi droits, ainfi le Triangle AEB, ayant les angles EAB, EBA demi- droits, & par confequent égaux, il aura auffi (par la 6. du 1.) les côtez AE, EB égaux. On démontre de même que les lignes EF, EB; EF, ED font égales.

USAGE.

Nous montrons dans le douziéme Livre

que

que les Polygones decrits dans le Cercle degenerent en Cercle; & que comme ces Polygones font toujours en raifon doublée de leurs diametres, les Cercles le font auffi. Nous avons befoin dans la Geometrie pratique, d'inferire le quarré, & les autres Polygones, dedans & autour d'un Cercle, pour reduire le Cercle au quarré.

PROPOSITION X.

PROBLEME.

Décrire un Triangle Ifofcele qui ait les angies fur la bafe, chacun double du troifieme.

pour décrire le Triangle Isofcele ABD P. 1.

qui ait chacun des angles ABD ; ADB, double de l'angle A ; divisez la ligne AB, (par la 11. du 2) de forte que fe quarré de AC foit égal au rectangle AB, BC. Décrivez du centre A, à l'ouverture AB, un Cercle BD, dans lequel vous infcrirez BD égale à AC. Tirez la ligne DC, & décrivez un cercle autour du Triangle ACD, ( par la 5.)

Demonftration.

Puifque le quarré de CA, ou BD, eft

O

Fig. 139

égal au rectangle compris fous AB, BC; la ligne BD touchera le Cercle ACD, au point D, (par la 37. du 3.) Donc l'angle BDC fera égal à l'angle A, compris dans le fegment alterne CAD, (par la 32. du 3.) Or l'angle BCD exterieur, eu égard au Triangle ACD, est égal aux angles A & CDA : donc l'angle ACD eft égal à l'angle ADB. De plus l'angle ADB, eft égal à l'angle ABD, (par la 5. du 1.) donc les angles DCB, DBC font égaux, & ( par la 6. du 1.) les côtez BD, DC feront égaux. Et puifque AC eft égal à BD, les côtez AC, CD feront égaux,& les angles A & CDA le feront auffi Donc l'angle ADB eft double de l'angle A.

USAGE.

Ce Problême fert pour le fuivant, c'eftà-dire, pour inferire un Pentagone régu lier dans un Cercle, ou l'on voit que pour y inferire un Eptagone régulier, il fau droit y inferire un Triangle Ifofcele, où chacun des deux angles à la base, fut triple de l'angle au fommet: mais ce Probleme étant folide, il ne peut pas être réfolu par le Cercle & par la ligne droite feulement, c'est à cause de cela qu'Euclide n'en a point parlé.

PROPOSIITON XI.

PROBLEME.

Inferire un Pentagone régulier dans un

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Cercle.

Fig. 14

Our infcrire un Pentagone régulier Pl. dans un Cercle, décrivez (par la 10.) & is un Triangle Ifofcele ABC, qui ait les angles ABC, ACB fur la base, chacun double de l'angle A. Infcrivez (par la 2. ) dans le Cercle, un Triangle DEF équiangle au Triangle ABC: divifez en deux également les angles DEF, DFE tirant les lignes EG, FH. Enfin, tirez les lignes DH, DG, GF, EH: & vous aurez décrit un Pentagone régulier; c'est-à-dire, qui a tous les côtez égaux, auffi bien que tous les angles.

Démonftration.

Les angles DEG, GEF,DFH, HFE, font les moitiez des angles DEF, DFE, qui font chacun double de l'angle A:donc ils font tous égaux à l'angle A: & par confequent les cinq arcs, qui leur fervent de bafe, font égaux ( par la 26. du 3.) & les: lignes HD, HE, EF, FG, GD font éga

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