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Pl. 1.

les (par la 29. du 3.) Secondement, les angles DGF, GFE, ayant chacun pour bafe, trois de ces arcs égaux, feront auffi égaux. Donc les côtez, & les angles de ce Pentagone font égaux..

SCOLIE.

On trouve dans la conftruction des Tables de Sinus de M. Ozanam, une autre methode plus facile pour infcrire un Pentagone regulier dans un Cercle, & auffi un Décagone regulier, de laquelle on tire la maniere de trouver en nombres les Sinus des arcs de 18. de 3.6. degrez.

PROPOSITION XII.

PROBLEME.

Décrire un Pentagone régulier autour d'un
Cercle.

1.TNfcrivez unPentagone régulier ABCDE Fig. 16. dans le Cercle (par la précedente) tirant des Tangentes par les points A, B, C, D, E, (par la 17. du 3.) vous aurez décrit un Pentagone regulier autour du Cercle. Tirez les lignes FA, FG, FE, FH, FD.

Démonstration.

Les lignes touchantes GA, GE fort

égales (par la 2. Corol. de la 36. du 3.) comme auffi EH, HD : les lignes FA, FE font auffi égales (par la définition du Cercle.) Donc (par la 8. du 1.) les Triangles FGA, FGE font égaux en tout fens, & les angles AFG,EFG font égaux; comme auffi les angles EFH,DFH. Et parce que les angles EFA & EFD font égaux (par la 27. du 3) leurs moitiez EFH EFG feront égales:& ( par la 26. du 1. ) les Triangles EFH, EFG feront égaux en tout fens, & les côtez EG, EH auffi égaux. Je démontre de la même façon, que tous les côtez font divifés en deux également: & par confequent, puifque les lignes AG, GE font égales, leurs doubles GH,GI seront auffi égales. De plus, les angles G & H, étant doubles des angles FGE, FHD, font auffi égaux. Nous avons donc décrit un Pentagone regulier autour d'un Cercle.

PROPOSITION XIII

PROBLEME.

Inferire un Cercle dans un Pentagone régulier..

P.Our inferire un Cercle dans le Penta- Pl. 1: gone régulier ABCDE: divifez les Fig. 17:

angles A & B en deux également par les lignes AF, BF, lefquelles concourreront en F. Puis tirant la ligne FG perpendiculaire à AB, décrivez un Cercle du centre F, à l'ouverture FG. Je dis qu'il touchera tous les autres côtez, c'est-à-dire,qu'ayant tiré FH perpendiculaire à BC; FG & FH feront égales. Tirez la ligne FC. Demonftration.

Puifque les angles égaux A & B ont été divifez en deux également, leurs moitiez GAF, GBF feront égales: & puifque les angles en G font droits, & le côté FG commun, les Triangles AFG, BFG feront égaux en tout fens (par la 26. du 1.) ainfi les lignes AG, GB font égales. De plus, je prouve que les lignes BG, BH, auffi-bien que FG, FH font égales: Et les côtez AB, BC d'un Pentagone regulier étant égaux, les lignes BH, HC feront égales. Par confequent les angles G & H étant droits & égaux, les Triangles BFH, HFC feront égaux en tout fens & les angles FBH, FCH feront égaux (par la 4. du 1.) Et puifque les angles B & C font égaux, l'angle FCH fera la moitié de l'angle BCD. Ainfi allant à l'un & à l'autre, je démontrerai que toutes les perpendiculaires, FG, FH, & les autres font égales,

PROPOSITION XIV.

PROBLEME.

Décrire un Cercle autour d'un Pentagone régulier.

Our décrire un Cercle autour d'un Pl. Y Pentagone regulier ABCDE, divifez Fig. 17 deux de les côtez AB, BC également en G&H; tirez les perpendiculaires GF, HF. Le Cercle décrit du centre F, à l'ouverture FA, paffera par B, C, D, E. Demonftration.

Suppofons que le Cercle eft décrit, il eft évident (par la 1. du 3.) qu'ayant divifé la ligne AB par le milieu en G; & ayant tiré la perpendiculaire GF, le centre de ce Cercle eft dans cette perpendiculaire : il eft auffi dans HF, donc il eft au point F. USAGE.

Ces Propofitions font utiles pour faire la Table des Sinus, & pour tracer des Citadelles: car les Pentagones font les plus ordinaires. Il faut auffi remarquer, que ces manieres de décrire un Pentagone autour d'un Cerele, fe peuvent appliquer aux autres Polygones

Pl. 1. Fig. 18.

PROPOSITION XV.

PROBLEME.

Décrire un Hexagone regulier dans un

pas

Cercle.

Our infcrire un Hexagone regulier dans le Cercle ABCDEF: Tirez le diametre AD, & mettez le pied du Compas au point D, décrivez un Cercle à P'ouverture du demi-diametre DG qui coupera le Cercle en C & en E: puis tirez les diametres EGB, CGF, & les lignes AB, AF & les autres.

Demonftration..

Il est év dent que les Triangles CDG, DGE font équilateres ; car leurs côtez GC, DG, GE font égaux étant tirez du centre à la circonference, & CD, DE ont été faits égaux à DG; c'est pourquoi les angles CGD, DGE., & leurs opposez.au fommet BGA, AGF, font chacun la troifiéme partie de deux droits; c'est-à-dire, de 60 degrez. Or tous les angles qui fe peuvent faire autour d'un point, valent quatre droits; c'est-à-dire, 360 degrez. Aina ôtant quatrefois 60. celt-à-dire,

240,

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