240. de 360. refteront 120. pour BGC Coroll. Le côté de l'Hexagone eft égal USAGE. Parce que le côté de l'Hexagone de la bafe eft foûtendante ou corde d'un arcde 60 degrez, & qu'il eft égal au demi-diametre ; fa moitié eft de Sinus de 30. degrez: & c'est par ce Sinus que nous commençons la Table de Sinus. Euclide traite de l'Hexagone dans les derniers Livres de fes Elemens. PROPOSITION XVI PROBLEME. Inferire un Pentedecagone régulier dans Nfcrivez dans un Cercle un Triangle Pl. r. équilateral ABC ( par la 2.) & un Pen- Fig. 19, tagone regulier (par la 11.) de forte qu'un des angles du Triangle & du Pentagone P se rencontrent au point A, la ligne BF fera le côté du Pentedecagone, & l'arc EB étant divifé en 2. ( par la 9. du 1.) au point I, les lignes BI, IE feront auffi deux côtez du Pentedecagone: Si on inf crit dans les autres arcs des lignes égales à BF, le Pentedecagone fera achevé. Démonstration. Puifque la ligne AB eft le côté du Trian gle équilateral, l'arc AEB, fera de 120. degrez, qui eft le tiers de tout le Cercle; & par confequent il contiendra 5 quinziémes:mais l'arc AE qui eft l'arc du Pentagone, étant de 72 degrez qui font la cin quiéme partie du Cercle, contiendra trois quinziémes. Donc l'arc EB en contient deux, c'est-à-dire 48 degrez, & par con fequent l'arc BF fera un quinziéme ou la moitié de l'arc EB,c'est-à-dire de 24. grez pour chaque arc du Pentedecagone. USAGE. dc Cette Propofition fert pour ouvrir le che min aux autres Polygones. Nous avons dans le compas de proportion, quelques mé thodes très-faciles pour infcrire tous les Polygones ordinaires: mais elles font fondées fur celles-ci. Car on ne pourroit pas mar quer fur cet inftrument les Polygones, fion ne trouvoit leurs côtez par cette propofition, ou par d'autres femblables, ****** LIVRE CINQUIE'ME, DES ELEMENS D'EUCLIDE. CE cinquième Livre eft absolument né ceffaire, pour démontrer les Propoftions du fixiéme Livre. Il contient une doctrine très-univerfelle, & une façon d'ar rzu menter par proportion, qui eft très-fubtile, très-folide, très-courte. Ainfi tous les traitez qui font fondez fur les proportions ne peuvent fe paffer de cette Logique Ma thematique. La Geometrie, Arithme rique, la Mufique, l'Aftronomie, la Statique, & pour dire en un mot, tous les trai tez de Mathematique fe démontrent par les Propofitions de ce Livre. La plupart des mefurages fe font par proportion dans la Géometrie pratique. On peut démontrer toutes les regles d'Arithmetique par les Theoremes de ce Livre; de forte qu'il n'eft pas néceffaire de recourir au feptiéme, ni au huitième, & neuviéme pour cela. La Mufique des Anciens n'eft prefque autre chofe que la doctrine des proportions appli quees aux fons. Il en eft de meme de la Sta tique, qui confidere les proportions des poids. Enfin on peut affurer que fi on ótoit aux Mathematiques la connoiffance des proportions, que ce Livre nous donne, le refte feroit peu confiderable. E A 6 C-D 2 DEFINITIONS. Une petite quantité comBparée avec une plus grande, s'appelle partie. Comme fi on compare la ligne CD, de deux pieds, avec la li gne AB de 6; elle s'appellera partie. Et quoiqu'en effet CD ne fait pas dans AB; pourvû que la ligne AE égale à CD fe trouve dans AB, on lui donne ce nom de partie. Le tout répond à la partie: & ce fera la plus grande quantité, comparée avec la plus petites foit qu'elle la contienne en effet, qu qu'elle ne la contienne pas. On divife ordinairement la partie prife en géneral, en partie aliquote, & partie aliquante. 1. La partie aliquote (qu'Euclide définit dans ce Livre) eft une grandeur d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand elle eft mefurée exacement par la plus petite. C'est-à-dire, que c'est une petite quantité comparée avec une plus grande, qu'elle mesure précisément. Comme la ligne de deux pieds prife trois fois, eft égale à une ligne de 6. pieds. 2. La partie aliquante eft une petite quantité, comparée avec une plus grande, qu'elle ne mefure pas exactement. Ainfi une ligne de 4. pieds, eft partie aliquante d'une ligne de 10. pieds. 3. La multiple eft une grandeur, d'une grandeur, la plus grande de la plus petite, quand la plus petite mesure exactement la plus grande: c'est-à-dire que la multiple eft une grande quantité, comparée avec une plus petite, qu'elle contient prés cifement un nombre de fois. Par exemple, la ligne de 6. pieds, eft multiple de la ligne de 2. pieds, parce qu'elle la contient préci fement 3. fois. 5. Les Equimultiples font des gran deurs qui contiennent également leurs parties aliquotes; c'est-à-dire, autant de fois. Par exemple, f A contient autant de 12.4.6.2.A feront Equimultifois B, que C contient D3 & C A, B, C, D, ples de B & de D. 5. Raifon, eft un rapport d'une gran→ deur à une autre de même genre felon la quantité. J'ai ajoûté, de même genre ; car Euclide ajoûte, que Les quantitez ont une raison, lorsqu'éi |