Pl. r.

Fig. 18.

PROPOSITION XV.

PROBLEME.

Décrire un Hexagone regulier dans un

Pour

Cercle.

Our infcrire un Hexagone regulier dans le Cercle ABCDEF: Tirez le diametre AD, & mettez le pied du Compas au point D, décrivez un Cercle à l'ouverture du demi-diametre DG qui coupera le Cercle en C & en E: puis tirez les diametres EGB, CGF, & les lignes AB, AF & les autres. Demonstration..

Il est év dent que les Triangles CDG, DGE font équilateres; car leurs côtez GC, DG, GE font égaux étant tirez du centre à la circonference, & CD, DE ont été faits égaux à DG; c'est pourquoi les angles CGD, DGE, & leurs opposez au fommet BGA, AGF, font chacun la troifiéme partie de deux droits; c'est-à-dire, de 60 degrez. Or tous les angles qui se peuvent faire autour d'un point, valent quatre droits; c'est-à-dire, 360, degrez. Aina ôtant quatrefois 60. c'est-à-dire, 240. 240. de 360. resteront 120. pour BGC & FGE, qui feront chacun de 60. degrez, parce qu'ils font égaux, (par la 15. du 1.) Ainsi tous les angles du centre étant égaux, tous les arcs & tous les côtez seront égaux ; & chaque angle A, B, C, &c. sera composé de deux angles de soixante degrez, c'est-à-dire de cent vingt degrez. Ils feront donc égaux.

Coroll. Le côté de l'Hexagone est égal au demi-diametre.

USAGE.

Parce que le côté de l'Hexagone de la
bafe est foutendante ou corde d'un arcde 60
degrez, & qu'il est égal au demi-diametre;
Sa moitié est de Sinus de 30. degrez:
c'est par ce Sinus que nous commençons la
Table de Sinus. Euclide traite de l'Hexa-
gone dans les derniers Livres de ses Elemens.

PROPOSITION XVI.
PROBLEME.

Infcrire un Pentedecagone régulier dans
un Cercle.

Nscrivez dans un Cercle un Triangle

Inter ABC par

la 2.) & un

Pl. f: Pen. Fig. 199

tagone regulier (par la 11.) de forte qu'un des angles du Triangle & du Pentagone

P

se rencontrent au point A, la ligne BF sera le côté du Pentedecagone, & l'arc EB étant divisé en 2. (par la 9. du 1.) au point I, les lignes BI, IE feront aussi deux côtez du Pentedecagone: Si on infcrit dans les autres arcs des lignes égales à BF, le Pentedecagone sera achevé. Démonstration.

Puisque la ligne AB est le côté du Trian gle équilateral, l'arc AEB, fera de 120. degrez, qui eft le tiers de tout le Cercle; & par confequent il contiendra 5 quinziémes:mais l'arc AE qui est l'arc du Pentagone, étant de 72 degrez qui font la cin quiéme partie du Cercle, contiendra trois quinziémes. Donc l'arc EB en contient deux, c'est-à-dire 48 degrez, & par con sequent l'arc BF sera un quinziéme ou la moitié de l'arc EB, c'est-à-dire de 24. degrez pour chaque arc du Pentedecagone. USAGE.

Cette Proposition fert pour ouvrir le che min aux autres Polygones. Nous avons dans le compas de proportion, quelques méthodes très-faciles pour infcrire tous les Polygones ordinaires : mais elles sont fondées fur celles-ci. Car on ne pourroit pas mar quer fur cet instrument les Polygones, fi on ne trouvoit leurs côtez par cette propofition, ou par d'autres semblables,

LIVRE CINQUIEME,

DES ELEMENS

D'EUCLIDE.

E cinquiéme Livre est absolument né Cefardonumente

,

les

tions du fixiéme Livre. Il contient une doctrine très-universelle, & une façon d'argumenter par proportion, qui est très-fubtile, très-folide, & très-courte. Ainsi tous traitez qui font fondez sur les proportions ne peuvent se passer de cette Logique Mathematique. La Geometrie, l'Arithmetique, la Musique, l'Astronomie, la Statique, & pour dire en un mot, tous les trai tez de Mathematique se démontrent par les Propositions de ce Livre. La plupart des mesurages se font par proportion dans la Géometrie pratique. On peut démontrer toutes les regles d'Arithmetique par les Theoremes de ce Livre; de forte qu'il n'est pas nécessaire de recourir au septiéme, ni au huitième, & neuvième pour cela. La Musique des Anciens n'est presque autre chose que la doctrine des proportions appli

quees aux fons. Il en est de meme de la Sta tique, qui confidere les proportions des poids. Enfin on peut assurer que si on étoit aux Mathematiqués la connoissance des proportions, que ce Livre nous donne, le reste seroit peu considerable.

A

E

1

1

C-D

2

DEFINITIONS.

Une petite quantité comB parée avec une plus gran6de, s'appelle partie. Comme si on compare la ligne CD, de deux pieds, avec la li gne AB de 6; elle s'appellera partie. Et quoiqu'en effet CD ne foit pas dans AB; pourvû que la ligne AE égale a CD se trouve dans AB, on lui donne ce nom de partie.

Le tout répond à la partie : & ce fera la plus grande quantité, comparée avec la plus petites foit qu'elle la contienne en effet, qu qu'elle ne la contienne pas.

On divise ordinairement la partie prise en géneral, en partie aliquote, & partie aliquante.

1. La partie aliquote (qu'Euclide définit dans ce Livre) est une grandeur d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand elle eft mesurée exadement par la plus petite. C'est-à-dire, que c'est une petite quantité, comparée avec