tant multipliées, elles fe peuvent surpasser P'une l'autre. Pour cela, il faut qu'elles foient de même genre. En effet une ligne n'a aucune raifon avec une furface, parce qu'une ligne prife mathematiquement eft con fideree fans aucune largeur: ainfi étant multipliée tant qu'il vous plaira, elle ne donne aucune largeur, & néanmoins la furface en contient une. Puifque la raifon eft un rapport, c'est-àdire une relation fondée fur la quantité: elle doit avoir deux termes. Celui que les Philofophes appelleroient fondement, eft nomme par les Mathematiciens Antecedent:

le fecond terme eft appellé Confequent. Comme, fi nous comparons la quantite A, à la quantité B, ce rapport ou cette raison, aura pour antecedent la quantité A, & pour confequent la quantité B. Comme au contraire, fi nous comparons B, avec A, cette raifon de B à A, aura pour antecedent la quantité B, & pour confequent la quantité A.

On divife la raifon, ou rapport d'une quantité à une autre, en raifon ration nelle,& raifon irrationnelle. La raifon rationnelle, eft un rapport d'une quantité à une autre qui lui eft commenfurable; c'eftà-dire une relation de deux quantitez qui ont une mesure commune qui les mesure

exactement toutes deux. Comme, la raifon d'une ligne de 4. pieds, à une de 6. eft rationnelles parce qu'une ligne de deux pieds les mefure exactement toutes deux : & lorf que cela arrive, ces quantitez ont même raifon qu'un nombre à un autre. Par exemple, parce que la ligne de deux pieds qui eft la mefure commune, fe trouve deux fois dans la ligne de 4. trois fois dans celle de 6. la premiere à la feconde aura méme raifon que 2. à 3.

La raifon irrationnelle eft entre deux quantitez de même genre qui font incommenfurables. Comme, la raifon du côté d'un quarré à fa diagonale. Car on ne peut trouver aucune mefure, fi petite qu'elle foit, qui les mefure toutes deux précifement: & pour lors ces lignes n'ont pas meme raifon qu'un nombre à un autre nombre.

Quatre quantitez feront en même raiJon, ou feront proportionnelles, quand la raifon de la premiere à la feconde, fera la même, ou femblable à celle de la troifiéme à la quatriéme; de forte qu'à parler proprement, la proportion eft une fimilitude de raifons. Mais on a de la peine à entendre en quoi confifte cette fimilitude de raifons c'est-à-dire, que deux rapports, ou relations foient femblables. Car Euclide n'en a pas donné une définition jufte, ¿

P

qui en expliquât la nature, s'étant conten té de nous donner une marque par laquelle nous puiffions connoître, fi les quantitez avoient une méme raison; & c'est l'obfcurité de cette definition qui a rendu ce Livre difficile. Je tacherai de fuppléer à ce défaut.

6. Euclide dit, que quatre grandeurs ont même raifon, lorfqu'ayant pris les Equimultiples de la premiere, & de la troifiéme ; & d'autres Equimultiples de la feconde, & de la quatrième ; quelque com binaifon qu'on faffe, quand le multiple de la premiere, étant plus grand, que le multiple de la feconde; le multiple de la troifiéme eft auffi plus grand, que le multiple de la quatriéme : & quand le multiple de la premiere eft égal, ou plus petit que le multiple de la feconde, & que celui de la troifiéme eft auffi égal ou plus petit que celui de la quatriéme, alors il y a même raifon de la premiere à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième.

A, B, C, D 2. 4. 3. 6. E,F,G,H, 10.8 15 12

Comme fi on propose qua tre grandeurs A, B, C, D, Ayant pris les Equimultiples de AC, qui foient E G, quintuples, F& H,

K,L,M,N, doubles de B D. Pareil

8.8.12.12.

O, P, Q, R,

lement

prenant K&M,

6.16.9.24. N,'doubles de B & D, quadruples de A&C: L

Prenant encore O&Q triples de A& C: P&R quadruples de B& D. Parce que E etant plus grand que F; G eft plus grand que H:&K étant égal à L; M est égal N: Enfin O étant plus petit que P ; Q eft plus petit que R. Alors A aura la méme raifon à B, que C à D.

Pour bien expliquer ce que c'est que Proportion, d'eft-a-dire que quatre grandeurs foient en même raison: quoiqu'on puiffe di re en géneral, que pour cela il faut que ta premiere foit une femblable partie, ou un Semblable tout, eu égard à la feconde ; que la troifiéme, comparée à la quatrieme : néanmoins parce que cette définition ne convient pas à la raison d'egalité, il en faut donner une plus generale; & pour la rendre intelligible, il faut expliquer ce que c'est qu'une femblable partie aliquote.

Les femblables parties aliquotes font celles qui font autant de fois dans leur tout: comme trois, eu egard à neuf; deux, eu égard à fix, font des parties aliquotes femblables, parce que chacune fe trouve trois fois dans fon tout.

La premiere quantité aura même raifos à la feconde, que la troifiéme à la quatriéme, fi la premiere contient autant de fois quelques parties aliquotes que ce foit de la Seconde, que la troifiéme contient de fem

blables parties aliquotes de la quatriéme comme, fi A contient autant de fois une centiéme, une milliéme,

A, B, C, D. une cent milliéme partie de B: que C contient

une centiéme, une millième, ou une cent milliéme partie de D; & ainfi de toutes les autres parties aliquotes qu'on fe peut imaginer; il y aura même raifon de A, à B, que de Cà D.

7. Il y aura plus grande raifon de la pre miere quantité à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième : fi la premiere contient plus de fois quelque partie aliquote de la feconde, que la troifiéme ne contient une semblable partie aliquote de la quatriéme. Comme, 101. a plus grande raifon a 10: que 200. a 20.; parce que 101. contient cent & une fois la dixième partie de 10. & 200. contient feulement cent fois la dixième partie de 20. qui eft 2.

8. Les grandeurs ou quantitez qui font en même raifon, s'appellent proportionelles.

9. La proportion ou analogie, eft une fimilitude de raifon ou de rapport.

10. La proportion doit avoir pour le moins trois termes. Car afin qu'il y ait fimilitude de raifon, il faut qu'il y ait deux raifons: Or chaque raifon ayam