deux termes, l'antecedent & le confequent, il femble qu'il y en devroit avoir quatre s comme, quand nous difons, qu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D: mais le confequens de la premiere raifon, pouvant être antecedent dans la feconde, trois ter mes peuvent fuffire ; comme, quand je dis, qu'il y a méme raifon de A à B, que de B a C.

II.

11. Les grandeurs font continuellement proportionnelles, quand les termes d'entre-deux fe prennent deux fois; c'eftà-dire, comme antecedent, & comme confequent. Comme s'il y a méme raifon de A a B, que de B à C, & de Cà D.

12. Pour lors, A à C aura la raifon doublée de A à B: & la raifon de A à D, fera triplée de celle de A à B.

Il faut remarquer qu'il y a bien de la difference entre raifon double, & raison doublée. Nous difons que la raison de quatre à deux eft double, c'est-à-dire que quatre eft double de deux, de forte que le nombre deux eft celui qui donne le nom à cette raifon, ou plutot à l'amecedent de cette raifon. Ainfi nous difons double, triple quadruple, quintuple, qui font des denominations tirées de ces nombres deux, trois, quatre, cinq, comparés avec l'unité: car nous concevons mieux une raifon, quand

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ou

ces termes font plus petits. Mais comme j'ai remarqué, ces dénominations tombent plutôt fur l'antecedent, que fur la raison même; nous appellons donc la raifon double triple, quand l'antecedent eft doub.e, triple du confequent: mais quand nous di→ fons que la raifon eft doublée, nous enten dons que c'est une raifon compofe de deux raifons femblables; comme s'il y a méme raifon de 2. à 4. que de 4. à 8. la raifon de 2. à 8. étant compofe, de la raifon de 2. à 4. de celle de 4. à 8. qui font fem blab es, & comme egales; la raifon de 2. à 8. fera doublee de chacune. Pareillement 3. a 27. est une raifon double de celle de 3. a 9. La raifon de 2. à 4. s'appelle fous double, c'eft-a-dire que 2. eft la moitié de 4. mais la raifon de 2. a 8. eft doublée de la fous doubles d'eft-a-dire, que 2. eft la moitié de la moitié de 8. comme 3. eft le tiers du tiers de 27. où vous voyez qu'on prend deux fois les dénominateurs & Pareillement 8. à 2. eft une raifon doublée de 8. a 4. parce que 8. eft double de mais 8. eft le double du double de 2. S'il y a quatre termes en méme raifon continuée, celle du premier au dernier eft triplée de celle du premier au fecond;comme fi on met ces quatre nombre 2. 4. 8. 16. la raifon de 2. à 16. eft triplée de celle de 2. à 4.car

4.

2. eft la moitie de la moitie de la moitié de 16. Comme la raison de 16. à 2. eft priplée de celle de 16. à 8. car 16. étant le double de 8. il eft le double du double, du double de 2,

13. Les grandeurs font homologues; les antecedens aux antecedens, les confequens aux confequens. Comme s'il y a meme raifon de A a B, que de Cà D: A &C font homologues.

Les définitions fuivantes font les façons d'argumenter par proportion: & c'eft principa.ement pour les demontrer que ce Livre eft compof

14. La raifon elterne, ou par échange, eft quand nous comparons les antecedens l'un avec l'autre ; comme auffi les confe quens. Par exemple, fi de ce qu'il y a même raifon de Aa B, que de Ca D; je conclus qu'il y a méme raifon de A a C, que de Ba D; cette façon ne peut avoir lieu que quand les quatre termes font de même genre; c'est-à-dire, ou tous quatre des lignes ou des furfaces, ou des foides. Voyez la propofition 16.

15. La raifon converfe, eft une compa raifon des confequens aux antecedens. Comme fi de ce qu'il y a méme raifon de A à B, que de Cà Dje conclus qu'il y a méme raifon de Bà A, que de Da C2.

Voyez le Corol. de la Propofition 16. 16. La compofition de raison, eft une comparaifon de l'antecedent & du confequent pris ensemble, au feul confequent. Comme s'il y a même raison de A à B, que de Cà D; je conclus qu'il y a auffi même raifon de A & B, à B; que de C&D, à D. Propofition 18.

17: La divifion de raison, eft une comparaifon de l'excès de l'antecedent pardeffus le confequent, au même confequent Comme s'il y a même raifon de A & B à B, que de C&D à Dje conclus Bà qu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D. Prop. 17.

18. La converfion de raifon, eft la Comparaifon de l'antecedent, à la difference des termes. Comme s'il y a même raifon de A & B à B, que de C & Dà D; je conclus qu'il y a même raifon de A & B à A, que de C & D à C. Prop. 18. 19. La Proportion d'égalité, eft une comparaifon des quantitez extrêmes, en laiffant celles du milieu.

A. BC. D.

E.F. G. H.

Comme fi y ayant même raifon de A à B, que de Eà F;& de Bà C, que de Fà

G;& de C à D, que de G à H,je tire cette confequence; donc il y a méme raifon de AàĎ, que de E a H.

20. La Proportion d'égalité bien rangée, eft celle dans laquelle on compare les termes avec le même ordre, comme dans l'exemple précedent. Propofition 22.

21. La proportion d'égalité mal ran gée, eft celle dans laquelle on compare les termes avec un ordre different. Comme s'il y a même raifon de A à B, que de G à H; & de Bà C, que de Fà G, & de C à D, que de E à F; je tire cette conclufion: Donc il y a même raifon de A à D, que de E à H. Propofition 23.

Voici toutes les façons d'argumenter par proportion.

1. S'il y a même raifon de A à B, que de Cà D; donc par la raifon alterne, il y au ra même raifon de A à C, que de B a D. 2. Et par la raifon converfe, il y aura même raifon de Ba A, que de D à C.. 3. Et par compofition, il y a même raifon de At Bà B, que de Cơ Dà D. 4. Par la divifion de raifon, s'il y a mêmẽ raifon de A ở Bà B, que de Cẻ Dà D; il y aura même raifon de A à B, que

de Ca D.

5. Et par converfion, il y aura mêmerais fon de A & B à A, que de C& Dà C. Ꮯ 6. Par la raifon d'égalité rangée, s'il y a même raifon de A à B, que de Cà D; &auffi même raifon de Bà E, que de D aussi

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