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COROLLAIRE.

Converfion de raison.

y a même raifon de A & B à B,que S'de C&Da y de C & D à D, il y aura auffi même raifon de A & B à A, que de C & D à C. Car (par la précedente) il y aura même raifon de A à B que de Cà D: Et ( par le Corol. de la 16.) il y aura même raifon de B à A, que de D à C. Et en compofant, il y aura même raifon de A & B à A, que de C & D à C.

USAGE.

Nous nous fervons fort fouvent de cette façon d'argumenter dans prefque toutes les parties des Mathematiques.

PROPOSITION XIX.

THEOREM E.

Si les tous font en même raifon, que les patties qui en ont été retranchées; celles qui reftent, feront en meme raifon.

12.6.

tité

'Il y a même raifon de la quan A, C, Suite A c B, à la quantité C & D, que de la partie B à la partie D: Je démontre qu'il y aura même raifon de A à C, que de A &

B, D,

4. 2.1

BàC & D.

Démonftration.

On fuppofe qu'il y a même raifon de A & Bà C & D, que de Bà D: Donc par échange ( felon la 16.) il y aura même raifon de A & B à B, que de C & D à D; & par la converfion de raison, il y aura même raifon de A & B à A, que de C & D à C: Et encore par échange, il y aura même raison de A & B à C & D, de A à C.

que

USAGE.

On agit fouvent fuivant cette Propofition dans la regle de focieté. Car on ne fait pas la regle de trois pour chaque affocié, & Pon fe contente de donner au dernier le ref te dugain, fuppofant que s'il y a méme raifon de toute la fomme des capitaux, à tout le gains que du capital d'un afsocié, à fa part du gain; il y aura auffi méme raifon du capital qui reste au reftant du gain. Les Propofitions 20. & 21. ne font pas néceffaires.

PROPOSITION XXII.

THEOREM E.

La raifon d'égalité avec ordre. Si on propofe quelques termes aufquels on en compare un pareil nombre ; de forte que ceux qui fe répondent dans les mêmes rangs, foient proportionnels; les premiers & les derniers feront proportionnels.

12.6.2.6. 3.1. A, B, C, D, E, F,

font

I les quantitez

SA

A, B, C, & les quant tez D, E, F, proportionnelles ; c'est-à-dire, qu'ily ait même raison de A à B, que de DàE; de Bà C, que de E à F: il y aura auffi même raifon de A à C, que de D à F. Démonftration.

S'il y avoit plus grande raifon de A à C,que de D à F; A contiendroit une partie aliquote de C; par exemple la moitié, plus de fois que D ne contiendroit la moitié de F: Suppofons que la moitié de C eft douze fois dans A,& que la moitié de F eft feulement onze fois dans D. Or parce qu'il y a même raifon de B à C, que de E à F; la quantité B contiendra la moitié de

C, autant de fois que E contient la moitié de F: Suppofons que ces moitiez se trouvent fix fois dans B & E. A, qui contient douze fois la moitié de C, aura plus grande raifon à B, qui contient fix fois la moitié de C; que D qui contient feulement onze fois la moitié de F à E, qui la contient fix fois. Il y aura donc plus grande raison de A à B, que de Da E, quoique nous ayons fuppofé le contraire.

USAGE.

Cette Propofition fert pour démontrer la Prop. XVIII. du Livre fuivant, & plufieurs autres belles Propofitions, comme par exemple le Lemme XII. de la Gnomonique

de M. Ozanam.

PROPOSITION XXIII,

THEOREM E.

La raifon d'égalité fans ordre,

Si deux rangs de termes font en méme raison mal ranges; les premiers & les derniers de l'un de l'autre feront proportionnels,

I les quin

A, B, C, D, E, F, G,Sitez A, B,
2. 6. 3. 8. 4. 2. 1. C,
C, & les autres

D, E, F, en pareil nombre, font en même raifon mal rangées ; c'eft-à-dire qu'il y ait même raifon de A à B que de E à F; & la même de Bà C, que de D à E: y aura même raison de A à C, que de Dà F. Qu'il y ait même raifon de Bà C, que de Fà G,

il

Démonftration.

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Puifqu'il y a même raifon de A à B que de Eà F; & de B à C, que de F à G; il y aura auffi même raifon de A à C, que de E à G, (par la 22.) De plus, puis qu'il y a même raifon de B à C, que de Dà É, & de Fà G; il y aura ( par la 11.) même raifon de Dà E, que de Fa G: & par échange (felon la 16.) il y aura même raifon de D à F, que de E à G. Or comme E eft à G, ainsi A est à C, ainfi que nous avons déja prouvé. Donc comme A eft à C, ainfi D eft à F.

USAGE.

Cette Propofition fera pour démontrer que dans on triangle rectiligne, les finus des angles font proportionnels à leurs côtez oppofes, & que dans un Triangle Spherique les finus des angles font proportionnels aux finus de leurs côtez oppofes, comme l'on peut voir dans la Trigonometrie rectiligne & Spherique de M. Ozanam.

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