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PROPOSITION XXXIV,

THEOREM E.

Si on propofe deux rangs de grandeurs ; & fi la raison de la premiere du premier rang, à la premiere du fecond, eft plus grande que celle de la feconde, a la feconde; celle-ci plus grande que celle de la troifiéme à la troifiéme. La raison de tout le premier rang à tout le fecond fera plus grande que de la derniere du premier rang a la derniere du fecond,

auffi que de tout le premier rang, excepté la premiere à tout le fecond rang, excepté auffi la premiere; mais elle fera plus petite que la raifon de la premiere du premier rang à la premiere du Second.

12.6.3.4. 3. 2.

'Il y a plus

raison

A, B, C, E, F, G grande de A à E, que de BàF; & fi la raifon de B à F est plus grande, que celle de Cà G: Je dis premierement que A, B & C, ont plus gran de raifon à E, F & G, que C à G.

T

Demonftration.

Il y a plus grande raifon de A à E, que de B à F; il y aura auffi plus grande raifon de A à B, que de E à F: & en compofant, la raifon de A & B à B, fera plus grande que de E & F à F ; & par échangeil y aura plus grande raifon de A & Bà E& F, que de B à F. Or la raifon de Bà F, eft plus grande que celle de C à G. Donc la raifon de A & B à E & F eft plus grande que celle de Cà G & en compofant, il y aura plus grande raison de A, B & C, à E, F & G, que de C à G.

Je dis en fecond lieu, que la raison de A, B & C, à E, F & G, eft plus grande, que la raifon de B & C, à F & G.

Demonftration.

On fuppofe qu'il y a plus grande raifon de A à E, que de B à F & par échange, la raifon de A à B, eft plus grande que celle de E à F: & en compofant, il y aura plus grande raifon de A & B à B, que de E & Fà F; & par échange, la raison de A & B à E & F, fera plus grande, que celle de Bà F. De plus, puifqu'il y a plus grande raifon du tout A & B, à E&F, que de la partie BàF:A (par la 33.) au ra plus grande raifon à E, que A & B à

par

E & F; & il y aura plus grande raifon de A à E, que de B & C à B & G. Et échange il y aura plus grande raifon de A à B & C, que de E à F & G ; & en compofant, il y aura plus grande raison de A, B & C, à E, F & G, que de B & CàF & G.

Je dis en troifiéme lieu qu'il y a plus grande raison de A à E, que de A, B & CàE, F&G.

Démonftration.

Nous avons démontré qu'il y avoit plus grande raifon de A, B & C, à E, F & G, que de la partie B & C, à la partie F & G: Il y aura donc plus grande raifon de A à E, que de A, B & C à E, F&G, (par la 33.)

AVERTISSEMENT.

E cinquiéme Livre avoit été dans l'E

Cdition derniere augmenté de plufieurs Propofitions démontrees par l'Algebre la plus fimple, & même l'on avoit appliqué cette maniere de démontrer à quelques-unes des Propofitions du même Livre, afin de les rendre plus intelligibles; mais comme Fon avoit obmis de mettre dans ce Supplement les calculs néceffaires, pour entendre les Démonftrations Algebriques qui y étoient Le Libraire a jugé qu'il valoit mieux donner dans la prefente Edition ces calculs, que d'ôter au Public le prefent qu'il lui avoit fait. Et c'eft dans cette vue que je vais expliquer la fimplicité des quatre premieres Régles d'Algebre.

DEFINITIONS.

1. Au lieu de réprefenter les grandeurs par des nombres, nous les réprefenterons par des lettres de l'alphabet; fçavoir les lignes par les lettres a, b, c, &c. les fuperficies par deux lettres mifes l'une près

de l'autre, comme, ac, bd, aa, &c. & les folides par trois lettres mifes auffi l'une près de l'autre, comme, abd, cdh aaa, &c.

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2. Il fuit 1°. De ce que ac, & bd, repréfentent des fuperficies, que ac fera un rectangle, dont l'une des dimensions est exprimée par a, c'eft-à-dire la longueur, & la largeur par c; mais aa repréfente un quarré, puifque la longueur & la largeur font chacune exprimée par la même lettre a; car l'on nomme toûjours les lignes égales par les mêmes lettres: 2°. De ce que ac & aa repréfente des fuperficies, l'on voit vifiblement que ac & aa nous donne l'idée de la multiplication de la grandeur attribuée à a par celle qui eft attribué à c; ainfi fi a eft égal à 3 &c à 4, l'on peut dire que ac eft égal à 12, de même fi a égal 5, aa fera égal à 25; car aa marque la multiplication de la valeur 5, qui eft attribué à a par elle-même. L'on verra encore de ce que 3. abd & aaa exprime des folides, c'eft-à-dire le produit formé par la longueur, la largeur & l'épaiffeur d'un corps, que abd marque un folide qui a fes trois dimenfions inégales, qu'on appelle paralellepipede, & aaa celui qui les a égales, lequel eft appellé Cube.

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