gles DBC & ABC feroient égaux; mais cela ne peut être fans absurdité, d'autant que ce seroit faire voir que la partie est aussi grande que le tout; il est donc impossible que le côté AB soit plus grand que le côté AC. On prouvera de même que le côté AC ne sçauroit être plus grand que le côté AB; ainsi les deux côtez AB, AC font donc égaux entr'eux C. Q. F. D.

J'ai démontré cette Proposition de même qu'elle est démontrée dans les Oeuvres Pofthumes de M. Rohault, m'ayant paruë plus convaincante, que celles qui se trouvent dans les anciennes Editions de ce Livre.

USAGE.

Fig. 28. On peut se fervir très-utilement de cette Propofition pour mesurer l'elevation d'une Tour, ou d'une Obelifque; ainsi si l'on vouloit fçavoir l'elevation de l'Obelisque AB, il faudroit attendre que le Soleil fût élevé de 45. degrez sur l'horizon; pour avoir Pombre CB, égale à la hauteur AB, car nous verrons par la fuite qu'au Triangle rectangle, tel que ABC, si l'angle C eft de 45 degrez, l'angle A fera aussi de 45. par confequent le Triangle fera Isofcele; c'est-à-dire, que la hauteur AB fera égale à la longueur de l'ombre CB, laquelle

étant connue on aura ce qu'on cherche. Nous omettons la Proposition septiéme comme n'étant d'aucun usage.

PROPOSITION VIII.

THEOREME.

Si deux Triangles ont tous les côtez égaux, leurs angles compris par ces côtez egaux., feront auffi égaux entr'eux.

Lorriangles

Es Triangles ABC & DEF sont sup-Fig. 294

aux autres, c'est-à-dire, que AB, est égale à DE, AC à DF, & BC à EF. Cela étant je dis que l'angle A fera égal à l'an gle D, Bà Ẻ, Cà F.

Démonstration.

Cette Propofition peut se démontrer très-aisément, de même que la quatrième. Car imaginez vous que le premier Triangle a été posé sur le second; cela étant leurs côtez ayant été supposés égaux, les extrêmités des côtez de l'un viendront aboutir fur les extrêmités des côtez de l'autre, les trois points A, B, C, convenant avec les trois points D, E, F, il est aisé de voir que les angles formés par les côtez égaux, font égaux. C. Q. F. D.

Fig. 30.

PROPOSITION IX.
PROBLEME.

Diviser un angle en deux également.

Q

U'on propose à diviser en deux éga lement l'angle SRT. Coupez deux lignes égales RS, TR, mettant le pied du compas en R, & à quelque ouverture de compas que ce foit décrivant l'arc ST, tirez la ligne ST, & décrivez par la premiere Proposition, le Triangle équilateral SVT. Je dis que la ligne RV, divise l'angle SRT en deux également; c'est-àdire, que les angles VRT, VRS font égaux.

Démonstration.

Les Triangles VRS, VRT, ont le cô té VR commun, le côte RT a été pris égal au côté RS : la base SV, est égale à VT, puisque le Triangle SVT est équilateral. Donc (par la 8.) les angles SRV, TRV font égaux.

USAGE.

Il est néceffaire de se servir de cette Propofition dans les Problèmes suivans,on s'en fert

encore dans la plupart des reductions qu'on

fait

(

fait des figures. Il feroit a fouhaiter qu'on put diviser un angle en trois, en cinq parties égales aussi aisement qu'en quatre, en 8, ou en 16: mais ceci est d'une Geometrie differente: c'est-a-dire, que celane se peut faire que par le moyen des courbes, c'est-à-dire, des fections coniques. On trouvera cependant dans le beau Dictionnaire de Mathematique de M. Ozanam, au lieu où il traite de la Géométrie Speculaire, une courbe propre à diviser un angle en trois, en cinq également, qu'il dit être de l'invention de M. Tschirnhaus; cette courbe est très-com mode, & on peut s'en fervir aisement.

:

PROPOSITION Χ.

PROBLEME.

Diviser une ligne en deux également.

N propose de diviser la ligne AB, Fig. 314

en deux parties égales, pour cela il ne faut que faire un Triangle équilateTal ABC, & diviser (par le Prob. préced.) l'angle C en deux également, par la ligne EC; le point E où cette ligne coupe AB, est le point du milieu qu'on cherche, ce qui est bien évident; car le Trian

C

Fig. 32.

gle ACE eft égal au Triangle ECB, puifqu'ils ont chacun un angle égal, qui est la moitié de celui qu'on vient de diviser, le côté EC leur est commun, & les côtez AC, CB font égaux, donc (par la 4.) les bases AE & EB font égales.

PROPOSITION XI

PROBLEME.

D'un point pris fur une ligne élever une perpendiculaire,

S

Oit la ligne donnée BC, & le point donné A, , il faut de part & d'autre, de ce point donné, prendre les parties égales AB & AC; puis ayant ouvert un Compas d'une grandeur volontaire, du point C comme centre décrivez l'arc D, du point B avec la même ouverture de Compas, décrivez-en un second qui aille couper le premier, du point A au point de section D, tirez la ligne AD, elle sera perpen diculaire fur BC.

Démonstration.

Nous avons les deux Triangles égaux DAB & DAC, car leurs côtez sont égaux par la construction: Donc (par la 8.)