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Pour démontrer 1°. que- divifé par + donne -;nous fuppoferons que l'on veut divifer-ab par+a, l'on fçait que le quotient qui viendra, doit être tel, qu'étant multiplié par le divifeur+ail donne le dividende—absor en fuppofant que-ab divifé para donne-b, l'on trouve par la multiplication de+a par-ble produit -2ab, donc-divifé par-donne-.

2o. je dis que-ab divifé para donne au quotient +b; car il faut que le divifeur multiplié par le quotient, donne le dividende-ab; or le quotient + b multiplié para donne-ab en obfervant la loi de La multiplication; donc-divifé par-don

ne +.

Il fuit de-là que divifant ac-cd+bc par c, l'on trouvera a-d+b au quotient, & cela en difant qui de +ac ôte +c, vient +a, de même qui de-cd ôte-+c, vient

d, & de-bc ôtant++c viendra +b,lesquelles étant ajoutées ensemble, donneront a-d+b pour le quotient.

Quand le divifeur n'eft point compofé de plufieurs parties, c'eft-à-dire qu'il n'est pas complexe, la division est aisée à faire, mais lorsqu'il en a plufieurs auffi-bien que le dividende, elle devient plus embaraffante. Pour en faire voir la maniere, nous fuppoferons qu'on doive divifer aa +2 ab

+

di

bb par a +b. Je dis qu'il faut 1°. vifer aa du dividende par la grandeur a du divifeur, l'on trouvera a, qu'il faut mettre au quotient, 2°. il faut multiplier le divifeur ab par le quotient a, ce qui don nera aa+ab qu'il faut fouftraire du dividende aa+2ab+bb, ainsi on aura aa+2 ab+bb-aa-ab qui fe réduit à ab-+bb qui eft le refte du dividende; 3°. il faut encore divifer ce refte par a+b, en difant qui de ab ôte a, il vient +b; enfuite multiplier le divifeur par b, ce qui donnera ab+bb, qu'il faut ôter du refte ab+bb, en écrivant ab+bb-ab-bb qui étant égal à zero, fait voir que la divifion est exacte; ainfi le quotient eft donc ab, car nous avons ôté du dividende.

1°. Le produit du divifeur a +bpar, a 2o. celui du même divifeur par b; or le produit du divifeur a+b par la partie a, & celui de a+b par la partie b étant joints ensemble donnent(nombre 14.)le produit du divifeur ab par le quotient a-+b, & comme l'ayant ôté du dividende il n'eft rien refté, il s'enfuit que ab eft le véritable quotient.

Exemple de Divifion.

Dividende.. aa +2ab+bb

Divifeur... a+b

} a quotient

Multiplicat. a

Produit.... aa+ab

Souftraction aa+2ab+bb-aa-ab

refte...... ab+bb

Dividende du reste ab +bb

Divifeur............ a+b

Quotient.......b

Produit..

Souftraction

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ab+bb

a+

ab +bb-ab-bb=•

Second Exemple de Divifion.

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aa +ab
aabbaaab

-ab-bb

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Quand une quantité eft précedée d'un chiffre comme 6ac ( lequel eft appellé coefficient, ) & qu'on veut la divifer par une grandeur qui en a un autfi; il faut diviser le premier par le fecond, ainfi 6ac étant divifé par 2a donneront au quotient 3c, puifque 3c multiplié par 2a donne le divident 6ac.

REMARQUE.

Ce que nous avons dit des quatre premieres Regles d'Algebre, étant fuffifant pour entendre les Démonftrations fuivantes, qui eft uniquement ce que nous nous fommes propofés; nous n'en dirons rien davantage, fi le Lecteur eft curieux, il aura recours aux Auteurs qui ont eu cette fcience fi néceffaire pour objet.

DEFINITIONS.

Nous avons vu dans le cinquiéme Livre que le rapport, ou la raifon d'une grandeur que nous appellerons a, à une autre b, dépendoient de la maniere de comparer la premiere a à la feconde b; or cette comparaifon pouvant être de deux façons, fçavoir 1°. en confiderant combien a, contient de fois b, ou des aliquotes de b, ou ce qui eft la même chofe combien b contient de fois a ou des aliquotes de a, cette compa

raifon a été appellé rapport ou raison géométrique. Ainfi la valeur du rapport géométrique d'une grandeur a à une autre b, fe trouvera en divifant la premiere a par la feconde b, par confequent expriment des rapports géo

a

C

12

b' d' , 4

métriques.

2o. Si la comparaifon de la grandeur a à une autre b, fe fait en confiderant combien la premiere furpaffe ou eft furpaffée par la feconde, cette comparaifon s'appelle une raifon ou rapport arithmetique; ainfi la valeur du rapport arithmeti que fe trouvera en fouftrayant la plus petite de la plus grande; par confequent a-b, 12-4 expriment des rapports arithmetiques.

1

L'on dit que le rapport géometrique de a à b, est égal à celui de c à d, fi la premiere grandeur a, contient autant de fois b, que c contient de fois d; ainsi si le nombre de fois que b eft dans a eft nomméf, c'est-à-dire fif eft le quotient de,ƒ fera auffi celui de, puifque l'on fuppofe que d eft dans c, autant de fois que b eft dans a, par confequent l'on

aura

a

a

C

cette égalité de rap

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