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port s'appelle proportion géometrique laquelle fe marque ainfi a,b::c, d, ce qui fignific, a eft à b comme c eft d.

La proportion arithmetique eft auffi compofée de deux rapports arithmetiques. égaux, ainfi les quatre grandeurs a, b, c, d, feront en proportion fi la difference de la premiere a à la feconde b, c'est-àdire ab eft égale à celle de la troifiéme c à la quatriéme d qui eft c d, laquelle fe marque ainfi a,b::c, d, ce qui fignific que a eft b comme c eft d.

Quand il s'agira de rapport ou de proportion géometrique, l'on dira feulement un rapport, une proportion, fans y joindre le mot de géometrique; mais quand le rapport ou la proportion fera arithmetique, l'on dira un rapport arithmetique une proportion arithmetique.

L'on appelle le premier & le dernier terme d'une proportion tant géometrique, qu'arithmetique les extrêmes, & le fecond & le troifiéme, les moyens ; ainfi dans la proportion, a, b:: c, d, le premier a, & le dernier d font les extrêmes, &b & c font les moyens.

PROPOSITION I.
THEOREM E.

Dans toutes proportions géometriques, a,b:: c, d, je dis que le produit

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ad des extrêmes eft égal à be qui eft celui

des moyens.

Démonftration.

Puifque les quatre grandeurs attribuées aux quatres lettres a, b, c, d font en proportion, la premiere a contient une aliquotte de b, autant de fois que la troifiéme c contient une femblable partie aliquotte de d; or fi l'on fuppofe que b foit divifé en 10, en 20, ou en 100 parties égales, il faudra que d foit divifé en 10, en 20, ou en 100. parties auffi égales, & fi on appelle x la 10, la 20°, ou la 100° partie de b, l'on verra que b fera égal à 10x, à 20x ou à 100x, de même nommanty, la 10, la 20°, ou la 100° partie de d, on aura d égal à 10y, 20y ou 100y, & fi au lieu des nombres, 10, 20, ou 100, qui expriment la quantité des parties dont b & d ont été fuppofé divifés; on prend la lettre n, pour marquer le nombre des aliquottes dont on conçoit que b, & d font partagés, l'on aura nx=b & ny=d.

Préfentement fi l'on fuppofe que m ex· prime le nombre de fois que x eft dansa, m marquera auffi le nombre de fois que y eft dans c, puifque a & c doivent contenir une même quantité de fois les ali

quottes femblables de b & de d, ainfi on aura donc mx-a & my=c, & fi l'ɩn met dans la proportion a,b::c, dà la place des lettres a, b, c & d leur valeur on aura fon égal, mx, nx:: my, ny, dans laquelle l'on voit que le produit des extrêmes mxny est égal à nxmy qui eft celui des moyens, puifque l'un & l'autre font formés des mêmes multiplicateurs. C. Q. F. D.

Seconde Démonftration.

On peut prouver plus aifément que fi , b::c, d le produit ad des extrêmes eft égal au produit be des moyens; en faifant attention que puifqu'il y a une proportion dans les grandeurs repréfentées par les lettres a, b, c,d; qui feront · par exemple, quatre lignes , quatre jurfaces, ou quatre folides, ou fi l'on veut quatre nombres; qu'il faut que la premiere a contienne autant de fois la feconde 6, que la troifiéme c contient de

a

fois la quatriéme d ; ainsi sera égal à Б

C

c'est-à-dire que le quotient qui marquera combien de fois b eft dans a, fera le même que celui qui marquera le nombre de fois que d eft dans c; or fuppofons que ce quotient foit f, l'on aura bfa & df

c, puifque le quotient multiplié par le divifeur eft toûjours égal au dividende ; ainfi en mettant dans la proportion a, b::c,d, à la place de a fa valeur bf, & à la place de c fa valeur df, on formera celle-ci, bf, b:: df, d (qui est égal à la premiere,) dans laquelle multipliant les extrêmes d'une part & les moyens de l'autre, on trouvera bfdbdf, puifque l'un & l'autre font formés des mêmes multiplicateurs ; donc que dans toute proportion le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens.

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COROLLAIRE I.

Puifqu'il faut que quatre grandeurs foient proportionnelles, pour que le produit des extrêmes foit égal à celui des moyens, il s'enfuit que lorfque ces produits feront égaux, les quatre quantités feront proportionelles; ainfi l'on fera affuré que b,h::g, f, fi l'on fçait que bf Chg.

COROLLAIRE. II.

Il fuit encore qu'on pourra toûjours trouver à trois quantités a, b, c, une quatriéme proportionelle; car fi on la nomme x, l'on formera cette proportion a, b::c, x, d'où l'on tire ax-bc, pré

fentement

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fentement fi l'on divife ax par a, il viendra x au quotient qui fera égal à la valeur deba puisque des quantités égales divi

bc

a

fées par une même, donnent des quotiens égaux; d'où l'on voit que le quatriéme terme d'une proportion, eft égal au produit des moyens divifé par le premier

terme.

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Quand la proportion eft continue, c'està-dire que les moyens font formés de la même grandeur (qu'on appelle moyenne proportionnelle,) par exemple, fi a, bb,c, on aura en multipliant les extrêmes d'une part, & les moyens de l'autre ac bb, or comme les racines quarrées des quantités égales font égales, il s'enfuit que la racine quarrée de bb qui est b, fera égale à celle de ac; ainfi pour connoître la valeur de 6 qui fert de moyen à la proportion continue, il fuffit que ac foit connuë; car fa racine quarrée donnera la valeur de 6.

Il fuit delà, que pour trouver une moyenne proportionnelle aux grandeurs 4 & 9, il faut les multiplier l'une par

Fautre, & extraire la racine quarrée de leur produit 36, quife trouve de 6 pour la moyenne que l'on cherche. Aini la 6::6,9. proportion continue fera

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