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La proportion continue fe marque de cette façon 4, 6, 9 qui fignifie 4. est à

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6 comme 6 est à 9, & quand elle est com. pofée de plus de trois grandeurs, continuellement proportionnelles, elle prend le

nom de progression, par consequent — 2,

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4,8, 16 &c. oua,b,c, d, f, &c. font des progreffions géometriques.

PROPOSITION II.

THEOREM E.

Orfque quatre grandeurs font en proportion elles le font encore de quatre manieres differentes, fçavoir, en raifon inverfe, en raifon alterne, en compofant & en divifant. Voyez le commencement du cinquiéme Livre, nombre 14. 15. 16. & 17.

Ainfi il faut faire voir que fi a, b::e, d
On aura
en raifon inverse b, a :: d, c
En alterne.

En compofant
Et en divifant

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1.

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a,c::b, d

Ja+b, b::c+d, d a-b, b::c-d, d

Démonftration.

Puifque l'on fuppofe que a,b::c,d, on aura ad=bc, & comme la raison inverfe b, a::d, c, & l'alterne a, c::b d, donnent auffi en multipliant les extrêmes & les moyens, ad bc, il s'enfuit (Corollaire I.) que les grandeurs font proportionnelles, par confequent l'on peut conclure en raifon inverfe, & en raifon alterne.

L'on a en compofant a+b,b::c+d, d & en divifant a-b, b::c-d, d, les produits des extrêmes & des moyens de la premiere donnent ad +bdbc+bd & ceux de la feconde ad-bdbcbd, or fi l'on met dans ces deux égalités fuppofées, à la place de ad fa valeur bc, l'on trouvera pour la premiere bc-bd-bc +bd, & pour la feconde bc-bd=bc -bd, qui font l'une & l'autre parfaitement égales, puifqu'elles font formées des mêmes grandeurs, ainfi (Corollaire I. ) l'on peut conclure en compofant & eu divifant.

PROPOSITION III.

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THEOREM F.

I l'on a plusieurs rapports égaux a, b ::c,d::g, h, je dis que la fomme des antecedens a +c+g eft à la fomme des confequens b+d+h comme un des antecedens eft à fon confequent b.

Démonftration.

b+d

Pour faire voir que a+c+g; +h:: a, b nous ferons voir que le produit des extrêmes ab+bc +bg=ab+ad +ah qui eft celui des moyens. Et cela en confiderant que puifque a, b::c, d on aura ad=bc, & comme a, b :: g, h, à caufe que les rapports font fuppofés égaux, on aura auffi ah-bg. Préfentement fi l'on met à la place de bc fa valeur ad, & à la place de bg fa valeur ah, dans le produit des extrêmes ab +be+bg, il fera changé à fon égal ab+ad+ah, lequel étant le même que celui des moyens, prouve vifiblement ( Corollaire I. qu'il y a même raifon de la fomme des antecedens à la fomme des confequens que d'un antecedent à fon confequent.

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COROLLAIRE. III.

Il fuit delà, que deux grandeurs demeurent en même raifon, quoique l'on ajoûte à l'une & à l'autre d'autres grandeurs, pourvû que ce qu'on ajoûte à la premiere, foit à ce qu'on ajoûte à la feconde, comme la premiere eft à la feconde, car c'eft précisément la propofition que l'on vient de démontrer.

Il est clair auffi, que deux grandeurs étant diminuées chacune d'autres grandeurs qui foient dans la même raifon que les deux premieres, les reftes confervent le même rapport, c'est-à-dire que fi a, b ::c, d, qu'on aura ac, b-d:: a, b, car c'eft le contraire de ce que l'on vient de dire. De plus il eft aifé de s'en convaincre, par le produit des extrêmes & des moyens, qui donnent ab-bc ab -ad, en mettant dans celui des extrêmes, à la place de bs, fa valeur ad prife de la proportion a,b::c, d, puis qu'alors ab -be devient ab -ad, qui eft la même chofe que le produit des (Corollaire I.) &c.

moyens ; donc

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PROPOSITION IV.

THEOREM E.

I l'on multiplie deux grandeurs a, & c par une même grandeur d, je dis que les produits font entre eux comme ces deux grandeurs, ainfi il faut faire voir que ad, dc :: a, c.

Démonftration.

L'on verra clairement que ad, de :: a, e, puifque les produits des extrêmes adc & des moyens dca font égaux, étant l'un & l'autre formés des mêmes grandeurs, donc Corollaire I.) ad, de :: a, C 8

ad

de

=

a

COROLLAIRE IV.

a

Puifque les grandeurs étant multitelle grandeur c, m, &c. don

pliées par

ac

am

ment, l'on voit évidemment

que

bc

bm

les numerateurs, & dénominateurs des

2

fractions,, &c. étant multipliées par

un nombre quelconque 5, elles feront changées fans changer de valeur, fçavoir

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