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en, &en, c'eft-dire que

=&C'eft fur ce principe

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que la maniere de réduire les fractions en même dénomination eft fondée.

PROPOSITION V.

SIP

THEOREM E.

I l'on divife deux grandeurs a & b par une même grandeur c, je dis que les quotiens feront entr'eux comme ces deux grandeurs.

Démonftration.

Nous fuppoferons qu'ayant diviféle

quotient soit ƒ, & que celui de foit g, f,

C

cela pofé, il faut faire voir que f, g:: a, b, & afin d'y parvenir, il faut faire attention. que fca & gc = b étant les produits des quotiens par les divifeurs. Or fi l'on met dans la proportion fuppofée à la place de a fa valeur fc, & à la place de b fa valeur gc, on aura fon égal f, g:: fc, gc, dans laquelle le produit fgc des extrêmes eft égal à celui des moyens gfc, puisqu'ils

font formés des mêmes grandeurs,

b

(Corollaire I.), :: a, b.

C

donc

Cette propofition auroit pû être déduite de la précedente; car puifque le rap

a

portne change point par la multiplica

tion d'une même grandeur, il ne doit pas non plus changer par la divifion d'une même quantité, puifque l'effet de la divifion eft de retrouver les grandeurs telles qu'elles étoient avant d'être multipliées.

COROLLAIRE V.

C'eft fur ce principe que la réduction d'une fraction à moindre terme est fondée.

Par exemolefe réduira à son égal en divifant le numerateur ac & le dénominateur be par la grandeur c, de même 24 se réduira à son égalen divifant le

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numerateur & le dénominateur par la même quantité 12.

PROPOSITION VI

THEOREME.

Dux grandeurs font égales, lorf

qu'elles ont même raifon à une troifiéme grandeur, ainfi il faut faire voir que fi a,f::b,f que a=b.

Démonftration.

Puifque a, f::b,f, il faut que a contienne autant de fois fque b contient de fois le mêmeƒ; or fi l'on fuppofe que

b

donne q au quotient, donnera auffi le F même 9, d'où l'on tirera a=qf, b=qfs ce qui fait voir que a=b, puifque chacun est égal à la même quantité qf.

PROPOSITION VII.

Es raifons qui font égales à une troifiéme, font égales entr'elles, c'està-dire que fi a, b::g, f & c, d :: g,f que a, b :: c, d.

Démonftration.

Puifque l'on fuppofe que a,b::g,fs

a contiendra autant de fois b que g contient de fois f, & à caufe que c', d::g,f;c contiendra auffi autant de fois d que g con tient de fois f; or le même nombre de fois que g contient f, a contient b; donc beft dans a autant de fois que d eft dans c, par confequent a, b :: c, d.

D

PROPOSITION VIII.

Ans toutes proportions arithmeti ques a, b, c, d, je dis que la fom me a+d des extrêmes cft égal à 6+c qui eft celle des moyens.

Démonftration.

Puifqu'il y a une proportion arithmeti que dans les quatre grandeurs a,b,c,d, il faut que a furpaffe autant de fois & que c b furpaffe d; or fuppofons que a furpaffeb de la grandeur g; c furpaffera auffi a de la quantité g, ainfi on aura b+ga & d +8=c, préfentement fi l'on met dans la proportion à la place de a fa valeur b+g & à la place de c fa valeur d+g, elle fera changée en fon égale b+g, b: d++g,d, dans laquelle la fomme des extrêmes b+g +d=b+d+g, qui eft celle des moyens, puifque l'une & l'autre font formées des mêmes grandeurs, donc a+d =b+c.

COROLLAIRE VI

Il fait de-là, que l'on pourra toujours trouver à trois grandeurs a, b, & c une quatriéme proportionnelle arithmetique; car fi l'on fuppofe qu'elle foit x, l'on formera cette proportion a, b :c, x, dans laquelle la fomme des extrêmes a ++x =b+c des moyens, & fi l'on ôte aux deux grandeurs a+x & b+c la même grandeur a, l'on trouvera d'une part ax

a qui fe réduit à x, & de l'autre b+c -a, qui font deux reftes égaux, puisque de quantités égales on en a ôté la même, ainfi on aura x=b+c-a, qui fait voir que la quatriéme proportionnelle eft égale à la fomme des deux moyens, moins le premier terme. C'eft pourquoi fi l'on veut avoir aux grandeurs 5,7 & 9 une quatrième, il faut ajoûter les deux moyens 7 & 9, & de leur fomme 16, en ôter le premier terme 5, le refte 11 fera ce que l'on cherche pour former la propor-tion 5,79, II.

La proportion arithmetique continue a, x:x, d donne a+d=2x, d'où il eft aifé de voir que la moitié de 2x qui eft x fera égal à la moitié de a+d qui eft

a+d

ainfi on aura x➡

2

a+d

2.

› par confe

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