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quent la moyenne x d'une proportion continue arithmetique, est toujours égale à la moitié de la fomme des deux extrê mes.

Quand la proportion continuë arithmetiquea, bc, s'étend à plus de trois grandeurs a, b, c, d, g, &c. elle s'ap pelle progreffion arithmetique.

D

PROPOSITION IX.

THEOREME.

Ans toutes progreffions arithmeti ques, la fomme de tous les termes eft égale à celle du premier & du dernier terme multipliée par la moitié du nombre des termes; ainfi il faut prouver que la fomme des termes d'une progreffion quel conque―a, a+f,a+2ƒ, a+3ƒ, a+4f, a+5f, est égale à la fomme a +a+5f, des deux extrêmes multipliée par moitié du nombre des termes.

Demonftration.

la

Il est évident que la fomme de tous les termes de la progreffion arithmetique

a, a +f, a+2f, a +3ƒ, a +4ƒ,a+5f, est égale à a +a+f+a+2f+a+3f +a+4f+a+5f, 6a+15f, or la fomme a+a+sf=2a+sf, du premier & du dernier terme multipliée par la moitié du nombre des termes donne auffi 6a+15f, donc pour avoir la fomme des termes d'une progreffion arithmetique, il faut ajoûter le premier & le dernier terme, multiplier leur fomme par la moitié du nombre des termes.

11 fuit delà, que fi l'on vouloit fçavoir combien une horloge frappe de coups depuis midi jufqu'à minuit, il faut faire attention que la progreffion arithmetique, commence par une heure & finit

par douze; car elle est —1, 2, 3, 4, 5, 6,

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5,6,7,8,

9, 10, 11, 12, ainfi la fomme du premier & du dernier terme eft égal à 13, qui étant multiplié par 6, moitié du nombre des termes donne 78 pour la fomme des . termes, ou des coups que l'horloge a frappé.

DEFINITIONS.

1. Si l'on, multiplie les antecedens de

a

C g

plufieurs raisons ››‡, &c. d'une

b d f >

b

b P

ab

pb

a

eft qui est égal à1⁄2, puisque les deux grandeurs ab & pb divifées par la même b, ne changent point leur rapport, ainfi qu'on l'a vû Propofition v. donc le rapport de la premiere grandeur à la troifiéme, eft compofé du rapport de la premiere à la feconde, & de celui de la fe conde à la troifiéme.

COROLLAIRE. VII.

Il fuit delà, que dans une proportion

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a

formée de trois lignes, le rapport de la premiere a à la troifieme d, étant compofé des rapports égaux & il fera doublé de chacun, (définitions précedentes nombre 2.) ainfi ainfi fera égal à

a

d

d

aa

d'où l'on tire aa, cc,::ad, ce qui fait voir que trois lignes étant en proportion continue, le quarré fait fur la premiere cit au quarré fait fur la feconde, comme la premiere ligne eft à la troifiémie.

On peut démontrer de cette maniere que trois lignés a, c, d, étant en proportion continue; le quarré aa fait fur la premiere ligne repréfentée par a, eft au quar

ré cc fait fur la feconde représentée par c, comme la premiere a eft à la troifiéme d, c'est-à-dire que aa, cc,:: a, d; car puifque a,c::c, d, on aura ad=cc, & la proportion aa, ce :: a, d, donne en multipliant les termes & les moyens aad-acc, puifqu'en mettant dans aad à la place de ad fa valeur cc, on a acc qui eft la même chofe que le produit des moyens; donc (Corollaire 1.) aa, cc:: a, d.

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PROPOSITION XI.

THEOREM E.

I on a quatre grandeurs a, b, c, d, je dis que le rapport de la premiere a, à la quatriéme d, eft compofée des de a à b, de bà c, & de c à d.

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rapports

a

eft com

C

il faut

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C d

b

multiplier ces rapports afin d'avoir

abc

bdc

pour leur rapport compofé, qui fe réduit en divisant par bc à son égal, donc le Y

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rapport de a à d eft compofé, &c.

COROLLAIRE VIII.

Il fuit delà, que files grandeurs a, bs c,d,étoient en proportion continue a,b, c, d, que le rapport de aà d feroit compofé de trois rapports égaux, & par confequent triplé de chacun; car le rapport

a abc abc aaа

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&

bdc bdc

bbb

(par la définition

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par confequent aaa Cube de la premie re grandeur, eft à bbb Cube de la feconde, comme la premiere grandeur a, est à la quatriéme d.

On peut démontrer encore que aaa, bbba, d, en faifant voir que le produit des extrêmes aaad eft égal à celui des moyens abbb , pour y parvenir il faut faire attention, que puifque les grandeurs a, b, , d, font en proportion continuë, on aura a, b :: b, c, & a, b :: c, d, d'où l'on tire ac=bb & ad=bc, préfentement fi l'on met dans le produit des extrêmes aaad à la place de ad fa valeur bc, on aura fon égal aabc, de même fi on met dans le produit des moyens abbb à la place de bb fa valeur ac, on aura fon égal aabc, qui

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