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pendiculaire tirée de fon fommet à fa bafe. Pl... Comme dans les Triangles ABC, EFG, les Fig. 6, perpendiculaires EH, AD, foit qu'elles tombent dehors, ou qu'elles fe tirent dans les Triangles font leurs hauteurs. Les Triangles &les parallelogrames, qui ont des hauteurs égales, peuvent être pofez entre les mêmes paralleles. Car ayant mis leurs bafes fur la même ligne HC; fi les perpendiculaires DA, HE font égales ; les lignes EA, HC font paralleles.

5. Une raifon eft compofée de plufieurs raifons, quand les quantitez homologues de ces raifons étant multipliées, en font une troifiéme.

Il faut remarquer qu'une raifon (au moins la rationnelle) a un nom tiré de quelque nombre qui marque quel rapport a l'antecedent de cette raifon à fon confequent. Comme fi on propofe deux grandeurs, l'une de 12 pieds, & l'autre de 6, nous difons que la raifon de 12 à 6 eft double. Pareillement, fi on propofe deux grandeurs 4 & 12, nous dirons que c'est une raison foûtriple; & un en est le dénominateur, qui marque qu'il y a même raifon de 4 à 12, que de a un, ou comme i à On peut appeller ce dénominateur la quan tité de la raison. Qu'on propofe donc trois termes 12, 6, 2. La premiere raifon de 12

3

3.

à 6 eft double, fon dénominateur eft 2, la raifon de 6, à 2 eft triple, fon dénominateur eft 3, la raison de 12 à 2 eft composée de la raifon de 12 à 6,& de celle de 6 à 2. Ainsi pour avoir le dénominateur de la raifon de 112 à 2 qui eft compofée de double & de triple, multipliez 3 par 2, & vous aurez 6; donc la raifon de 12 à 2 eft fextuple. C'est ce que les Mathematiciens entendent, par compofition de raifons, quoiqu'on la devroit plutôt appeller multiplication de raifons.

Pl. I.. Fig. 7..

PROPOSITION I

THEOREM E.

Les Parallelogrames & les Triangles de méme hauteur, ont même raison que leurs bafes.

U'ON propofe les Triangles AGC

QDEM de même hauteur, de forte

qu'on puiffe les placer entre les paralleles AD, GM: Je dis qu'il y aura même raison de la bafe GC à la bafe EM, que du Triangle AGC, au Triangle DEM. Qu'on divife la bafe EM en autant de parties égales qu'on voudra, & qu'on tire par chaque divifion des lignes DF, DH, &c. Qu'on

divife auffi la ligne GC, en parties égales à celles de la ligne EM, & qu'on tire des lignes du fommet A à ces divifions: Tous ces petits Triangles, formés dans les deux grands, font entre les mêmes paralleles, & ils ont des bafes égales: ils font donc égaux (par la 38 du 1.)

Démonftration.

La bafe GC, contient autant de parties aliquotes de la ligne EM, qu'on a pû trouver de parties égales à EF. Or autant qu'il y a dans la base GC de parties égales à EF; autant le Triangle AGC contient de petits Triangles égaux à ceux qui font dans le Triangle DEM; lefquels étant égaux entr'eux, font fes parties aliquotes: donc autant que la bafe GC contient de parties aliquotes de EM, autant le Triangle AGC contient de parties aliquotes du Triangle DEM; ce qui arrivera dans toute forte de divifion. Il y a donc même raifon de la bafe GC à la bafe EM, que du Triangle AGC au Triangle DEM.

USAGE.

Fig. 3.

Non-feulement cette Propofition eft né-Pl. 1. ceffaire pour démontrer celles qui fuivent ; mais on s'en peut fervir pour divifer les champs.

Qu'on propose un trapeze ABCD, qui ait les côtez AD, BC paralleles, & qu'on

en veüille prendre la troifiéme partie, pre-
nez CL égale à AD:&faues BG égale à
la troifiéme partie de BL. Tirez AG. Je
dis que
le Triangle ABG eft la troifiéme
partie du trapeze ABCD.

Démonftration.

Les Triangles ADF, FCL, font équiangle à caufe des paralleles AD, CL, & ils ont les côtez AD, CL égaux: ils font donc égaux (par la 26. du 1.)& par confe Jequent le Triangle ABL eft égal au trapeze: Or le Triangle ABG eft la troifiéme partie du Triangle ABL par la précedente: Donc le Triangle ABG eft le tiers du trapeze ABCD.

Pl. I.

Fig. 9.

PROPOSITION II.

THEOREME.

Une ligne tirée dans un Triangle paralle lement à fa bafe, divife fes côtez proportionnellement. Que fi une ligne divife proportionnellement les côtez d'un Triangle, elle fera parallèle à sa base.

I dans le Triangle ABC, la ligne DE "Seft parallele a la bafe BC; les côtez

AB, AC feront divifez proportionnelle

ment, c'est-à-dire, qu'il y aura même raifon de AD à DB, que de AE à EC. Tirez les lignes DC, BE. Les Triangles DBE, DEC, qui ont la même base DE, & qui font renfermés entre les mêmes paralleles DE, BC font égaux, (par la 37. du 1.) Démonftration.

Les Triangles ADE, DBE, ont le même fommet E, prenant AD, DB pour leurs bafes: & fi on tiroit par le point E, une parallele à AB, ils feroient entre ces paralleles, & auroient par confequent même hauteur: ils ont donc même raifon que leurs bafes (par la r.) c'est-à-dire qu'il y a même raison de AD à DB, que du Triangle ADE au Triangle DEB, ou à fon égal CED. Or il y a auffi même raifon du Triangle ADE au Triangle CDE, que de la base AE à EC. Il y a donc même raifon de AD à DB, que AE à EC.

Que s'il y avoit même raifon de AE à EC, que de AD à DB: Je dis que les lignes DE, BC feroient paralleles.

Démonftration..

Il y a même raifon de AD à DB, que du Triangle ADE au Triangle DEB (par la 1.) il y a auffi même raison de AE à EC, que du Triangle ADE au Triangle DEC: par confequent il y aura même raifon du Triangle ADE au Triangle BDE, que du

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