les angles DAB & DAC font égaux,& par conféquent droits, ce qui prouve que la ligne AD eft perpendiculaire fur BC. PROPOSITION XII, PROBLEME. Tirer une perpendiculaire à une ligne par un point hors de la même ligne. L ne faut que du point donné A comme Fig. 31 centre; décrire l'arc BC qui coupe la ligne en deux points 'B & C, enfuite divifer la partie BC en deux également au point E, la ligne tirée de A en E fera perpendiculaire, ce qu'il eft aifé de démontrer; car les rayons AB, AC étant égaux auffi bien que les côtez BE, EC; la ligne AE étant commune, on connoîtra comme dans le Problême précedent, que la ligne AE eft perpendiculaire fur BC, puifqu'elle fait deux angles droits avec la li gne BC. Fig. 34. PROPOSITION XIII. THEOREM E. Une ligne qui tombe fur une autre, fait avec elle deux angles droits, ou deux angles, lefquels pris ensemble font égaux à deux droits, SI la ligne AD tombe perpendiculairement fur BC, les angles ADC & ADB feront droits (par la Définition 1 1.) Fig, 35. mais fi, par exemple, la ligne AD, au lieu d'être perpendiculaire étoit oblique comme ED on auroit un angle aigu EDB, & un angle obtus EDC, lefquels pris enfemble vaudront deux droits; car fi du point D comme centre vous décrivez un demi Cercle, l'arc FC fera la mesure de l'angle obtus, & l'arc BF fera la mesure de l'angle aigu; & comme ces deux arcs pris enfemble valent le demi Cercle, & que le demi Cercle eft la mesure de deux angles droits; il s'enfuit qu'une ligne qui tombe fur une autre fait deux angles droits, ou deux angles qui leur foọnt égaux. USAGE. Quand nous connoiffons un des deux an- Fig. 364 gles, qu'une ligne fait en tombant fur une autre, il eft facile de connoître l'autre; car, par exemple, fi je connois l'angle EAD de 50. degrez, je n'ai qu'à les fouftraire de 180, qui eft la valeur de deux angles droits, il reftera 130 pour la valeur de l'angle obtus EAC J'obmettrai la propofition 14. comme étant peu confiderable. Je pourrai faire de même à l'égard de plufieurs autres, pour ne m'attacher uniquement qu'à celles dont on ne peut fe paffer. PROPOSITION X V. THEOREM E. Si deux lignes droites fe coupent, les angles opposez au fommet font égaux. S Oit les deux lignes AB & DC qui fe Fig. 37. coupent au point E. Je dis que l'angle AED, est égal à l'angle CEB. Démonftration. Si l'on confidere que la ligne AE, en tombant fur DC, fait avec elle les angles AED & AEC égaux à deux droits (par la 13. ) pareillement la ligne CE tombant fur AB, fait avec elle les angles BEC & AEC qui valent deux droits. Cela étant on peut remarquer que l'angle AEC eft commun à cette valeur de deux droits; ainfi fi on l'ôte des uns, & des autres, il reftera l'angle CEB, égal à l'angle AED. C. Q. F. D. USAGE. Cette Propofition est très-considerable; elle fert principalement pour démontrer la 27.& pour l'appliquer à la pratique, foit, par exemple, l'angle AEC que l'on ne peut mefurer avec un instrument, parce que je Fig. 38. fuppofe que c'est un Mur, ou tout autre corps folide qu'on ne peut parcourir, il faut prolonger les côtez AE & CE à volonté vers D&B, je veux dire qu'il faut fe mettre fur l'alignement de fes côtez, pour avoir le Triangle BDE, qui fe fait auffi petit &auffi grand que l'on veut. Cela étant fait, il faut en mesurer les côtez pour les rapporter fur le Papier, pour faire un Triangle femblable, par lequel on pourra Connoitre l'angle E qu'on cherche. PROPOSITION XVI THEOREME. L'angle exterieur d'un Triangle fait par la continuation d'un côté, eft plus grand chacun des interieurs oppofez. que Ontinuez le côté BC du Triangle Fig. 32 ABC, je dis que l'angle exterieur ACD, eft plus grand que l'angle interieur oppofé ABC, ou BAC. Imaginezyous que le Triangle ABC fe meut le long de la ligne BD, & qu'il eft tranf porté en CED Démonftration. Il eft impoffible que le Triangle ABC fe meuve de la forte, fans que le point A change de place, allant vers E: Or s'il est meu vers E, l'angle ECD, c'est-à-dire ABC, eft plus petit que l'angle ACD: donc l'angle interieur ABC, eft plus petit que l'exterieur ACD. Il eft facile de prouver que l'angle A eft auffi plus petit, que l'externe ACD: car ayant prolongé le côté AC jufqu'en F, les angles oppofés BCF, ACD, font égaux (par la 15.) & faifant gliffer le |