les angles DAB & DAC sont égaux, & pat conféquent droits, ce qui prouve que la ligne AD eft perpendiculaire sur BC. PROPOSITION XII, PROBLEME. Tirer une perpendiculaire à une ligne par un point hors de la même ligne. I L ne faut que du point donné A comme Fig. 3 zi centre; décrire l'arc BC qui coupe la ligne en deux points B & C, ensuite divifer la partie BC en deux également au point E, la ligne tirée de A en E fera perpendiculaire, ce qu'il est aisé de démontrer; car les rayons AB, AC étant égaux auffi bien que les côtez BE, EC; la ligne AE étant commune, on connoîtra comme dans le Problême précedent, que la ligne AE eft perpendiculaire sur BC, puifqu'elle fait deux angles droits avec la lis gne BC. Fig. 34. PROPOSITION XIII. THEOREME. Une ligne qui tombe sur une autre, fait avec elle deux angles droits, ou deux angles, lesquels pris ensemble sont égauҳ a deux droits, SI la ligne AD tombe perpendiculai rement fur BC, les angles ADC & ADB feront droits (par la Définition 11.) Fig. 35. mais fi, par exemple, la ligne AD, au lieu d'être perpendiculaire étoit oblique comme ED on auroit un angle aigu EDB, & un angle obtus EDC, lesquels pris ensemble vaudront deux droits; car si du pot D comme centre vous décrivez un demi Cercle, l'arc FC sera la mesure de l'angle obtus, & l'arc BF sera la mesure de l'angle aigu; & comme ces deux arcs pris ensemble valent le demi Cercle, & que le demi Cercle est la mesure de deux angles droits; il s'enfuit qu'une ligne qui tombe sur une autre fait deux angles droits, ou deux angles qui leur font égaux. : L USAGE. Quand nous connoissons un des deux and Fig. 36. gles, qu'une ligne fait en tombant fur une autre, il est facile de connoître l'autre, car, par exemple, si je connois l'angle EAD de 50. degrez, je n'ai qu'à les soustraire de 180, qui est la valeur de deux angles droits, il restera 130 pour la valeur de l'angle obtus EAC. J'obmettrai la proposition 14. comme étant peu considerable. Je pourrai faire de même à l'égard de plusieurs autres, pour ne m'attacher uniquement qu'à celles dont on ne peut se paffer. PROPOSITION X V. THEOREME. Si deux lignes droites se coupent, les angles opposez au fominet font égaux. Soit les deux lignes AB & DC qui se Fig. 37 coupent au point E. Je dis que l'angle AED, est égal à l'angle CEB. Démonstration. Si l'on confidere que la ligne AE, em tombant sur DC, fait avec elle les angles AED & AEC égaux à deux droits (par la 13.) pareillement la ligne CE tombant fur AB, fait avec elle les angles BEC & AEC qui valent deux droits. Cela étant on peut remarquer que l'angle AEC eft commun à cette valeur de deux droits; ainsi si on l'ôte des uns, & des autres, il restera l'angle CEB, égal à l'angle AED. C. Q. F. D. USAGE. Cette Propofition est très-confiderable ; elle fert principalement pour démontrer la 27. & pour l'appliquer à la pratique, soit, par exemple, l'angle AEC que l'on ne peut mesurer avec un instrument, parce que je Fig. 38. Suppose que c'est un Mur, ou tout autre corps folide qu'on ne peut parcourir, il faut prolonger les côtez AE & CE à volonté vers D&B, je veux dire qu'il faut se mettre fur l'alignement de ses côtez, pour avoir le Triangle BDE, qui se fait aussi petit, aussi grand que l'on veut. Cela étant fait, il faut en mesurer les côtez pour les rapporter fur le Papier, pour faire un Triangle semblable, par lequel on pourra connoître l'angle E qu'on cherche. PROPOSITION XVI THEOREME. L'angle exterieur d'un Triangle fait par la continuation d'un côté, est plus grand que chacun des interieurs opposez. CAB t る Ontinuez le côté BC du Triangle Fig. 3 ABC, je dis que l'angle exterieur ACD, est plus grand que l'angle interieur opposé ABC, ou BAC. Imaginezvous que le Triangle ABC se meut le long de la ligne BD, & qu'il est tranf porté en CED. Démonstration. Il est impossible que le Triangle ABC se meuve de la forte, sans que le point A change de place, allant vers E: Or s'il est meu vers E, l'angle ECD, c'est-à-dire ABC, est plus petit que l'angle ACD: donc l'angle interieur ABC, est plus petit que l'exterieur ACD. Il est facile de prouver que l'angle A est auffi plus petit, que l'externe ACD: car ayant prolongé le côté AC jusqu'en F, les angles opposés BCF, ACD, font égaux (par la 15.) & faisant glisser le |