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même Triangle ADE au Triangle CED. Ainfi (par la 1. du 5.) les Triangles BDE, CED font égaux,&c. ( par la 39. du 1.) ils font entre les mêmes paralleles. Donc les lignes DE, BC font paralleles.

USAGE.

Cette Propofition eft abfolument néceffaire pour les fuivantes. Elle fert auffi pour démontrer la compofition de raifons. Car puifque DB eft à AD, comme EC eft à AE,en compofant il y aura auffi même rai fon de AB à AD, que de AC à AE,à caufe des deux Triangles équiangles ABC, ADE, comme il fera démontré dans la quatriéme Propofition.

Pl. 1.

Fig. 10.

PROPOSITION III.

THEOREM E.

La ligne qui partage en deux également
l'angle d'un Triangle,partage fa bafe en
deux parties qui font en même raison que
les cotez. Que fi la ligne partage la base en
deux parties proportionnelles aux côtez,
elle divifera l'angle en deux également.

SI
I la ligne AD partage en deux égale-
ment l'angle BAC; il y aura même

,

raifon de AB à AC, que de BD à DC. Continuez le côté CA & prenez AE égale à AB; puis tirez la ligne EB. Démonftration.

L'angle exterieur CAB, du Triangle ifofcele ABE, est égal aux deux internes AEB,ABE: lefquels étant égaux (par la 5. du 1.) puifque les côtez AE, AB font égaux, l'angle BAD, moitié de BAC fera égal à l'un d'eux ; c'est-à-dire, à l'angle ABE. Donc (par la 28. du 1.) les lignes AD, EB font paralleles : & ( par la 2.) il y a même raifon de EA, ou AB à AC, que de BD à DC.

Secondement, s'il y a même raifon de AB à AC, que BD à DC, l'angle BAC fera divifé également en deux.

Démonftration.

Il y a même raifon de AB, ou EA à AC, , que de BD à DC: Donc (par le -2, cas de la 2.) les lignes EB, AD font paralleles ; & (par la 28. du 1.) les angles alternes EBA, BAD, l'interne BEA, & l'externe DAC, feront égaux, & les angles EBA, AEB étant égaux, les angles BAD, DAC, le feront auffi. Donc l'angle BAC aura été divifé également.

USAGE.

Nous nous fervons de cette Propofition pour avoir la proportion des côtez.

Pl. 1. Fig. 11.

PROPOSITION IV.

THEOREME.

Les Triangles équiangles ont les côtez proportionnels.

I les Triangles ABC, DCE font équi angles; c'est-à-dire , que les angles ABC, DCE,BAC,CDE font égaux : ily aura même raison de BA à BC,que de CD à CE. Pareillement la raifon de AC à BC, fera la même que la raison de DE à CE, & la raifon de BA à AC, fera la même que celle de CD à DE. Joignez les Triangles, de forte que les bafes BC, CE foient fur la même ligne ; & continuez les côtez ED, BA: puifque les angles ACB,DEC font égaux; les lignes AC, FE font paralleles, de même que CD, BF (par 28. du 1.) & AFDC fera un parallelograme. Démonftration.

Dans le Triangle BFE, AC eft parallele à la bafe FË; donc ( par la 2.) il y aura même raifon de BA à AF ou CD, que de BC à CE: (& par échange) il y aura même raison de AB à BC, que de DC à CE. Pareillement dans le même

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Triangle, CD étant parallele à la bafe BF, il y aura même raifon de FD, ou AC à DE, que de BC à CE (par la 2.) & par échange, il y aura même raifon de ACà BC, que de DE à CE. Enfin puisqu'il y a même raifon de BA à BC, que de CD à CE, & même raifon de BC à AC, que de CE à DE, il y aura ( par égalité,) même raison de BA à AC, que de CD à DE.

Corollaire. Si dans un Triangle on tire une ligne parallele à un des côtez, on fera deux Triangles équiangles.

USAGE.

Cette Propofition est fort étenduë, & elle peut paffer pour un principe très-univerfel dans toutes fortes de mefurages. Car premierement les pratiques ordinaires pour mefurer les lignes inacceffibles, en décrivant un petit Triangle femblable à celui qui eft formé fur le terrain, font établies fur cette Propofition, comme auffi la plupart des inftrumens, fur lefquels fe forment des Triangles femblables à ceux que nous voulons mefurer, comme le quarré Géometrique, le Pantometre, l'Arbalefte, l'Inftru ment univerfel de M. Ozanam, & les au tres. De plus, nous ne sçaurions lever le Plan d'une Place, que par cette Propofi tion de forte que pour en expliquer les

Pl. 1. Fig. 12. & 13.

ufages, il faudroit donner le premier Livre de la Géometrie Pratique.

PROPOSITION V.

THEOREME.

Les Triangles qui ont les côtez proportion nels font équiangles.

Iles Triangles ABC,DEF ont les côtez proportionnels ; c'eft-à dire, s'il y a même raifon de AB à BC, que de DE à EF: comme auffi fi la raison de AB à AC, eft la même que celle de DE à DF: les angles ABC, DEF, A & D, C & F feront égaux. Faites l'angle FEG égal à l'angle B, EFG égal à l'angle C.

Démonftration.

Les Triangles ABC, EFG, ont deux angles égaux: ils font donc équiangles (par le Corol, 2. de la 32. du 1.) & par la 4.) il y aura même raifon de AB à BC, que de GE à EF. Or on suppose qu'il y a même raifon de DE à EF, que de AB à BC: ainfi il a même raifon de DE à EF, que de EG à EF. Donc (par la 1. du 5.) DE, EG font égales. Pareillement DF, FG le font auffi, &(par la

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