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étant équiangles; il y aura même raifon de BH à BG, que de FE à FD: & par égalité, il y aura même raifon de AB à BG, que de CF à FD. Et ainfi de tous les autres côtez. Donc (par la défin. 1.) les polygones font femblables.

USAGE.

C'eft fur cette Propofition que nous établiffons la plupart des Pratiques pour lever le Plan d'une Place, d'un Batiment, d'un Champ, d'une Foreft, & même de tout un Pais car faifant valoir les parties d'une ligne divifee également, pour des pieds, ou pour des toifes; nous décrivons une figure femblable au prototype, mais plus petite, dans laquelle nous pouvons voir la propor-· tion de toutes ces lignes. Et parce qu'il nous eft plus facile de travailler fur le papier que fur le terrain; nous pouvons renfermer dans cette Propofition prefque toute la Geodefie, toutes les Chorographies, toutes les Cartes de Géographie, la façon de réduire de grand en petits de forte que cette Propofition s'étend prefque par tous les Arts, qui om befoin d'avoir le deffein, ou le modèle de leurs Ouvrages,

PROPOSITION XIX.

THEOREM E.

Les Triangles femblables; c'est-à-dire équiangles, font en raifon doublée, de celle de leurs côtez homologues.

S

Fig. 29.

I les Triangles ABC, DEF font fem-Pl. 1. blables, ou équiangles ; ils feront en & 29. raifon doublée des côtez homologues BC, EF; c'est-à-dire, que la raison du Triangle ABC au Triangle DEF fera doublée de la raison de BC à EF: de forte que cherchant la troifiéme proportionnel- · le HI aux lignes BC,EF; en faifant qu'il y ait même raifon de BC à EF, que de EF à HI; le Triangle ABC aura même raison au Triangle DEF, que la ligne BC à la ligne HI. Ce qui s'appelle avoir une raifon doublée. Que BG & HI foient égales ; & qu'on tire la ligne AG.

Démonftration.

Les angles B & E des Triangles ABG, DEF font égaux: d'ailleurs, puifque les Triangles ABC, DEF font femblables, il y aura même raison (par la 4.) de AB à DE, que de BC à EF: Or comme BC

eft à EF, ainfi EF eft à HI, ou BG, donc comme AB eft à DE,ainfi EF eft à BG: & par confequent les côtez des Triangles ABG,DEF étant réciproques:les Triangles feront égaux (par la 15.) Or (par la 1.) le Triangle ABC a même raifon au Triangle ABG, que BC à BG, ou HI: donc le Triangle ABC a même raifon au Triangle DEF, que BC à HI.

COROLLAIRE.

Il fuit de cette Propofition, que les Triangles femblables font dans la raison des quarrez de leurs côtez homologues, parce que ces quarrez font aussi en raison doublée de celle de leurs côtez.

USAGE.

Ces Propofitions corrigent l'opinion de plufieurs, qui s'imaginent facilement que les figures femblables font en même raifon que leurs côtez. Par exemple, qu'on propofe deux quarrez, deux pentagones, deux he xagones, deux cercles; & que le côté du premier foit double de celui du fecond; la Spremiere figure fera quadruple de la feconde. Si le côté de la premiere, eft triple de celui de la feconde, la premiere figure fera neuf fois duffi grande que la feconde. Ainfi pour faire un quarré triple de l'autre, il faudroit chercher une moyenne proportion

nelle entre un & trois, qui feroit prefque 1 pour le côté de la figure triple.

PROPOSIITON XX.

THEOREM E.

Les polygones femblables fe peuvent divifer en autant de Triangles femblables; & leurs fuperficies font en raison doublée de leurs côtez homologues.

Iles polygones ABGDE, GHILM PL 2.

font femblables; on les

pourra

divifer

en autant de Triangles femblables, & qui feront des femblables parties de leur tout. Tirez les lignes AC, AD, GI, GL. Démonftration.

Puifque les polygones font femblables, leurs angles B & H feront égaux; & il y aura même raifon de AB à BC, que de GH à HI (par la 1. défin.) donc les Triangles ABC, GHI font femblables (par la 6.) & (par la 4.) il y aura même raifon de BC à CA, que de HIà GI. De plus, puifqu'il y a même raifon de CD à BC,'que de IL à IH, & la même de BC à CA, que de HI à GI:il y aura par égalité, même raifon de CD à CA, que de IL à GI. Or les angles BCD & HIL étant égaux,fi vous en ôtez les angles égaux ACB, GIH; les angles

Bb iiij

Fig. 30. & 31.

ACD, GIL feront égaux. Donc les Triangles ACD, GIL feront femblables (par la 6.) Ainfi il eft facile de parcourir tous les Triangles des polygones, & de & de prouver qu'ils font femblables.

J'ajoûte que les polygones font en raifon doublée de leurs côtez homologues. Démonftration.

Chaque Triangle eft à fon femblable en raifon doublée des côtez homologues (par la 19.) Donc chaque Triangle d'un polygone à chaque Triangle de l'autre, eft en raifon doublée des côtez homo- . logues, & leurs côtez ayant même raifon (par la 4.) puifque tous les Triangles font femblables, la raifon doublée fera la même ; & de plus, il y a même raifon de chaque Triangle à fon femblable, que de tous les Triangles d'un polygone à tous ceux de l'autre (par la 3. du 5.) c'est-àdire d'un polygone à l'autre. Donc les Triangles font en même raifon que les polygones: & puifque les Triangles font en raifon doublée de leurs côtez homologues, les polygones le feront auffi.

Coroll. 1. Les polygones femblables font comme les quarrez de leurs côtez homologues.

Coroll. 2. Si trois lignes font continuellement proportionnelles, le polygo

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