Triangle ABC le long de la ligne ACF, je démontrerai que l'angle BCF eft plus grand que l'angle A.

USAGE.

P1. 3. Nous tirons de cette Propofition plusieurs Fig. 40. conclufions très-utiles. La premiere que d'un point donné, on ne peut tirer qu'une perpendiculaire à une ligne. Par exemple, que la ligne AB foit perpendiculaire à BC : je dis que AC ne fera pas perpendiculaire, parce que l'angle droit ABD qui eft exterieur eft plus grand que l'interieur ACB: donc AC Bne fera pas un angle droit, ni AC une perpendiculaire.

La seconde, qu'on ne peut tirer du même point A, que deux lignes égales; par exemple AC, AD fur une même ligne ou plan ED, & que si on tire une troisiéme AE, elle ne fera pas égale aux autres. Car puifque AC, AD font égales, les angles ACD, ADC font égaux (par la 5.) or dans le Triangle AEC, l'angle externe ACB eft plus grand que l'interne AEC : & ainsi Tangle ADE, est plus grand que AED: donc les lignes AE, AD, & par confequent AC, ne font pas égales.

:

La troisième, est que si la ligne AC, fait Tangle ACB aigu, & ACE obtus, la perpendiculaire tirée du point A, tombera du côté de l'aigus car fi on disoit que AE

perpendiculaire; & que l'angle AEF eft droit, l'angle droit AEF feroit plus grand que l'angle obtus ACE, ce qui est impossible; donc &c. Ces conclusions nous fervent pour mesurer les parallelogrames, les Triangles, &les Trapezes, & pour les reduire aux figures rectangles.

On peut aussi facilement démontrer par cette Propofition la 27, comme on le peut voir dans les Elemens d'Euclide de M. Oza

nam.

Nous omettrons la Proposition 17. comme n'étant qu'un Corollaire de la 32.

PROPOSITION. XVIII

THEOREME.

Dans quelque Triangle que ce foit le plus grand côté est oppofe au plus grand angle

Q

Ue le côté BC du Triangle ABC, soit plus grand que le côté AC, je dis que l'angle BAC opposé au côté BC, est plus grand que l'angle ABC, opposé au côté AC. Coupez dans BC, la ligne CD égale à AC, & tirez AD.

Démonstration.

Puisque les côtez AC, CD sont égaux

:

Fig. 4

le Triangle ACD sera Ifocele; (& par la 5.) les angles CDA, CAD feront égaux. Or l'angle total BAC, est plus grand que l'angle CAD; donc l'angle BAC, eft plus grand que l'angle CDA; lequel étant extérieur, eu égard au Triangle ABD, Fig. 42. eft plus grand que l'interieur ABD (par la 16.) donc l'angle BAC est plus grand que l'angle ABD; donc le plus grand côté est opposé au plus grand angle.

43.

Fig. 43.

La proposition 19. est, pour ainsi dire, l'inverse de celle-ci, ne disant autre chose, que le plus grand angle est opposé au plus grand côté; ainsi il me paroît qu'il est inutile de la rapporter ici, puisque la démonstration est la même que la pré cedente.

USAGE.

Cette Proposition peut fervir sur le terkain, pour connoître de deux angles d'un Triangle celui qui est le plus grand, lorfqu'on n'a point d'instrument pour les mesurer: car fi, par exemple, le côté BC est plus grand que AC, qu'on peut mesurer à fes pas, on connoît par cette Proposition que Tangle BAC, est plus grand que l'angle G BA.

PROPOSITION XX.

THEOREME.

Dans quelque Triangle que ce foit, deux, cótez pris ensemble font plus grands que le troifiéme.

Ette Ette Propofition Proposition fe se démontre aisé- Fig. 464 ment par la définition de la ligne droite; car il est certain que dans le Triangle TLV, les deux côtez TL, & LV font plus grands pris ensemble que le côté TV, ce côté ici pouvant être confideré comme une ligne droite, qui est la plus courte qu'on peut tirer du point T, au point V. Il n'en est pas de même des deux autres côtez pris ensemble, puif qu'ils renferment une espace. C. Q. F D.

Fig. 47.

PROPOSITION XXI.

THEOREME.

Si dessus la même base, on decrit un petit Triangle dans un grand, les côtez du petit feront moindres que ceux du grand, &ils feront un angle plus grand.

Q

U'on décrive le petit Triangle A DB; dans le Triangle ACB, dessus la même base AB. Je dis premierement que les côtez AC, BC, sont plus grands que les côtez AD, BD. Continuez le côté AD jusqu'en E.

Démonstration.

Dans le Triangle ACE, les côtez A C, CE font plus grands que le seul côté AE, (par la 20.) donc en y ajoûtant le côté EB, les côtez AC, CB feront plus grands que les côtez AE, EB. Pareillement dans le Triangle DBE, les côtez BE, ED, font plus grands que le seul côté BD; & ajoûtant le côté AD, les côtez AE, EB, feront plus grands que AD, BD. Mais AE, EB sont plus petits que AC, AB. Donc à plus forte raison AD, DB, feront plus petits que AC, CB.