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rencontrent, ou par un Triangle. Je m'es fuis fervi dans l'optique, pour prouver que les lignes paralleles objectives, qui rencontrent le tableau, doivent être représentées par des lignes qui concourent dans un point,

PROPOSITION III.

THEOREME.

La commune fection des deux plans eft uns ligne droite,

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I les plans AB, CD fe coupent, leur commune fection EF, fera une ligne droite. Car fi elle ne l'étoit pas, prenez deux points communs aux deux plans qui foient E & F; & tirez une ligne droite du point E au point F, dans le plan AB, &que ce foit EHF. Tirez auf dans le plan CD, une ligne droite EF: fi elle n'eft pas la même que la précedente, que ce foit EGF.

Démonftration.

Ces lignes tirées dans les deux plans; font deux lignes differentes, & elles ren ferment un espace; ce qui eft contraire à -la douzième Maxime; donc elles ne fefont qu'une même ligne droite, laquelle

étant dans les deux plans, fera leur com

mune fection.

USAGE.

Cette Propofition eft fondamentale. Nous la fuppofons dans la Gnomoniqué, quand nous repréfentons dans nos cadrans folaires, les Cercles des heures, en marquam par une ligne droite la commune fection de leur plan, & de celui de la muraille. On la fuppofe auffi dans les autres ; de forte que même on ne la cite pas

PROPOSITION IV.

THEOREME.

Si une ligne eft perpendiculaire à deux autres qui fe coupent, elle le fera auffi au plan des mémes lignes.

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I la ligne AB eft perpendiculaire aux Pl. r. lignes CD,EF,qui fe coupent au point Fig. 13. B; de forte que les angles ABC, ABD ABE,ABF foient droits; elle fera perpendiculaire au plan des lignes CD,EF; c'eftà-dire, qu'elle fera perpendiculaire à toutes les lignes qu'on tirera dans le même plan, par le point B: comme à la ligne GBH. Qu'on coupe les lignes égales, BC,

BD, BE, BF ; & qu'on tire les lignes EC, DF, AC, AD, ÃE, AF, AĞ & AH. Demonftration.

1. Les quatre Triangles ABC, ABD, ABE, ABF, ont les angles droits au point B ; & les côtez BC, BD, BE, BF égaux avec le côté AB, qui leur eft commun. Donc les bafes AC, AD, AE, AF font égales (par la 4. du 1.)

2. Les Triangles EBC, DBF feront égaux en tout fens, ayant les côtez BC, BD, BE, BF égaux, & les angles CBE, DBF oppofés au fommet étant égaux: ainfi les angles BCE, BDF, BEC, BFD feront égaux (par la 4. du 1.) & les bafes EC, DF égales.

3. Les Triangles GBC, DBH, ayant les angles oppofés CBG,DBHégaux,com me auffi les angles BDH,BCG, & les côtez BC,BD : ils auront (par la 26. du 1.) les côtez BG, BH; CG, DH, égaux.

4. les Triangles ACE, AFD ayant les côtez AC, AD, AE, AF égaux, & les bafes EC, DF égales, ils auront (par la 8. du 1.) les angles ADF, ACE égaux.

5. Les Triangles ACG, ADH ont les côtez AC, AD, CG, DH égaux ; avec les angles ADH, ACG: ils auront donc les bafes AG, AH égales.

6. Enfin les Triangles ABH, ABG ont

tous les côtez égaux: donc (par la 8. du 1.) les angles ABG, ABH feront égaux, & la ligne AB perpendiculaire à GH. Ainfi la ligne AB fera perpendiculaire à quelque ligne qu'on tire par le point B, dans le plan des lignes CD, EF; ce que j'appelle être perpendiculaire au plan.

USAGE.

Cette Propofition revient fort fouvent dans le premier Livre de Theodufe: par exemple, pour montrer que l'effieu ou axe du monde eft perpendiculaire au plan de l'équinoxial. Pareillement dans la Gnomonique, nous démontrons par cette Propofition, que la ligne équinoxiale eft perpendiculaire à la meridienne, dans les cadrans horizontaux. Elle n'eft pas moins utile dans les autres traitez; comme dans celui des Aftrolabes, ou dans celui de la Coupe des pierres.

PROPOSITION V.
THEOREME.

Si une ligne eft perpendiculaire à trois au-
tres qui fe coupent dans le même point:el-
les feront toutes trois dans un même plan.

Pl. 1.

Strois Lignes BC, BD, BE, qui fe cou- Fig. 14. la ligne AB eft perpendiculaire aux

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pent dans même point B, les lignes BC
BD, BE, font dans le même plan. Que fe
plan AE foit celui des lignes AB, BE;&
que CF foit celui des lignes BC, BD. Si BE
étoit de la commune fection de ces deux
plans, BE feroit dans le plan des lignes
BC, BD, comme nous le prétendons : fi
EB n'eft
pas la commune fection, que ce

foit BG.

Pl. 1.

Fig. 15.

Démonftration.

AB eft perpendiculaire aux lignes BC, BD: elle eft donc perpendiculaire à leur plan CF (par la 4.) & (par la 3. défin. ) AB fera perpendiculaire à BG. Or on fuppofe qu'elle eft perpendiculaire à BE: donc les angles ABE, ABG feroient droits & égaux, & néanmoins l'un eft. partie de l'autre. Ainfi les deux plans ne peuvent avoir autre commune fection que BE: elle eft donc dans le plan CF.

PROPOSITION VI..

THEOREM E.

Les lignes qui font perpendiculaires au même plan, font paralleles.

I les lignes AB, CD font perpendicu laires au même plan EF; elles feront

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