fections AF, DE font paralleles (par la 16.) Pareillement DF, AE: donc AD fera un parallelograme. Je démontrerai de la même façon, que AG, FB, CG, & les autres font des parallelogrames. J'ajoûte que les parallelogrames opposés, par exemple, AG, BF, sont semblables & égaux. Les lignes AE, EG sont paralleles aux lignes FD, BD, & encore égales: donc les angles AEG, FDB font égaux(parla 15.) Je puis ainsi démontrer, que tous les côtez, & tous les angles des parallelogrames oppofés, sont égaux. Donc les parallelogrames sont semblables & égaux.

PROPOSITIONXXV.

THEOREME.

Si on divise un parallelepipede, par un plan parallele à un des fiens ; les deux corps Solides, qui résulteront de cette division, feront en méme raison que leurs bases.

S

Pl. 22

I le parallelepipede AB, est divisé
par le plan CD, qui soit parallele aux Fig. 31.

plans opposés AF, BE: le solide AC est
à DB, en même raison que la base Al à la
base DG. Qu'on s'imagine que la ligne
AH, qui marque la hauteur de la figure,

eft divisée en autant de parties égales qu'on voudra; par exemple en dix mille, que nous pouvons prendre indivisiblement, c'est-à-dire, sans penser qu'on le peut foûdiviser. Qu'on s'imagine auffi autant de surfaces paralleles à la base AG, qu'il y a de parties dans la ligne AH : je n'en marque qu'une seule pour toutes, qui sera OS: de forte que le solide AB foit composé de toutes ces surfaces de même épaisseur, comme seroit une rame de pa pier composée de toutes ses feüilles posées l'une sur l'autre. Il est évident que pour lors le solide AC sera composé de dix mille surfaces égales à la base AI (par la préced.) & le solide DB, contiendra dix mille surfaces égales à la base DG. Demonstration.

Chaque surface du solide AC, a même raison à chaque surface du solide DB; que la base AI, à la base DG; puisqu'elles font chacunes égales à leurs bases: donc (par la 3. du 5.) toutes les surfaces du solide AC prises ensemble, auront même raison à toutes les surfaces du solide DB, que la base AI, à la base DG. Or toutes les surfaces du folide AC, composent AC, qui n'a point d'autres parties que ces surfaces: & toutes les surfaces du solide DB, ne font autre chose que le solide DB: donc le for lide AC, a même raison au solide DB que la base AI, à la base DG.

USAGE.

Cette façon de démontrer eft de Cavalerius: je la trouve très-claire, pourvû qu'on s'en serve comme il faut, & que la ligne qui fert de mesure aux épaisseurs des Surfaces, foit prise de même façon dans l'un

dans l'autre terme. Je m'en fervirai encore ci-après, pour rendre plus faciles quelques demonstrations trop embrouillées.

PROPOSITION XXVI.

THEOREME.

Un parallelepipede se divise en deux éga lement, par le plan diagonal, ou en deux prismes égaux.

UE le parallelepipede AB soit divi- Pl. z. sé par le plan CD, tiré d'un angle à Fig 32. l'autre: Je dis qu'on l'a partagé en deux également. Qu'on s'imagine que la ligne AE est divisée en autant de parties qu'on voudra, & qu'on a tiré par chacune, autant de plans paralleles à la base AF: chacun de ces plans, est un parallelograme égal à la base AF (par la 24.)

Démonstration.

Tous les parallelogrames qu'on peut tirer paralleles à la base AF, font divisés en deux également par le plan CD: car les Triangles qui se formeront de côté & d'autre du plan CD, ont leur base commune égale à CG; & les côtez égaux, puisque ce font ceux d'un parallelograme. Or il est évident que le parallelepipede AB, ne contient autre chose que ses furfaces parallelogrames, chacune desquelles est divisée en deux Triangles égaux: donc le parallelepipede AB, est divisé en deux également par le plan CD.

Les Propofitions XXVII. & XXVIII. font inutiles felon cette façon de démontrer. Les Propofitions XXIX. & XXX. font aussi inutiles.

PROPOSITION XXXI.

THEOREME.

Les parallelepipedes de même hauteur, qui ont la méme bafe, ou des bases égales,

font égaux.

Pl. 1. I

Fig. 33. & 34.

Segale

parallelepipedes AB, CD ont une

perpendiculaire

:

FG; avec des bases AH, CI,ou égales,ou la même; ils feront égaux. Qu'on pose les

deux bafes AH, CI sur le même plan; puisque les hauteurs perpendiculaires font égales, les bafes EB, FD feront dans le même plan parallele à celui des bases AH, CI. Qu'on s'imagine que la ligne FG ou EA est divisée en autant de parties égales qu'on voudra: par exemple en dix mille; & qu'on tire par chacune des surfaces ou plans de même épaisseur (pour ainsi dire) je n'en marque qu'un pour tous, qui fera KM. Chaque furface formera dans les solides un plan parallele semblable, & égal à la base (par la 24.) comme KL, OM: & il y en aura autant dans un solide, que dans l'autre; puisque leur épaisseur que je prends perpendiculairement dans les lignes des hauteurs, est égale. Démonstration.

Il y a même raison de la base AHà la base CI, que de chaque plan KL à OM. Or il y en a pareil nombre dans l'un, que dans l'autre: ainsi il y aura même raison de tous les antecedens à tous les confequens; c'est-à-dire, de tout le solide AB, à tout le folide CD; que de la base AH à la base CI. On suppose auffi que les bases sont égales : donc les solides AB, CD font égaux.

Coroll. Pour avoir la folidité d'un paraltelepipede, on multiplie sa base par fa