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BAC eft le plus grand de tous ; les deux autres BAD, CAD pris enfemble, font plus grands que BAC. Que l'angle CAE foit égal à CAD; & que les lignes AD, AE foient égales. Tirez les lignes CEB, CD, BD.

Démonftration.

Les triangles CAE, CAD, ont les côtez AD, AE égaux ; CA, commun; & les angles CAD, CAE égaux, donc (par la 4. du) les bafes CD, CE font égales. Or les côtez CD, DB font plus grands que le feul BC, (par la 20. du 1.) donc ayant ôté les lignes égales CD, CÉ; la ligne BD fera plus grande que BE. De plus, les Triangles BAE, BAD, ont les côtez AD, AE égaux; AB commun; & la bafe BD, plus grande que EB; donc (par la 25. du 1.) l'angle DAB eft plus grand, que l'angle BAE: & ajoûtant les angles CAD, CAE; les angles BAD, CAD feront plus grands que BAE, CAE, c'est-à-dire que CAB

PROPO

PROPOSIITON XXI.

THEOREM E.

Tous les angles plans qui compofent un angle folide, font moindres que quatre

droits.

Fig. 294

Iles angles plans BAC, CAD, BAD PL. 2. compofent l'angle folide A ; ils feront moindres que quatre droits. Tirez les lignes BC, CD, BD; & vous aurez une pyramide, qui a pour base le Triangle BCD. Demonftration.

Il fe fait un angle folide au point B, duquel, les angles ABC, ABD font plus grands (par la préced.) que le feul CBD de la bafe. Pareillement ACB, ACD font plus grands que le feul BCD : & les angles ADČ, ADB font plus grands que le feul CDB. Or tous les angles de la bafe CBD, valent deux droits : donc les angles ABC, ABD, ACB, ACD, ADC, ADB font plus grands que deux droits. Et parce que tous les angles des trois Triangles BAC, BAD, CAD valent fix droits; en ôtant plus de deux droits, le refte fera moindre que quatre droits pour les angles qui fe font au point A. Si l'angle folide A Ff

étoit compofé de plus de trois angles plans; de forte que la bafe de la pyramide fût polygone; on pourroit la partager en Triangles : & ayant fait la fuppofition, on trouveroit toujours que les angles plans qui forment l'angle folide, font moindres que quatre droits.

USAGE.

des

Ces deux Propofitions fervent pour déterminer, quand de plufieurs angles plans, on peut faire un angle folide; ce qui eft fouvent néceffaire dans le Traité de la coupe pierres, & dans les Propofitions fuivantes. Les Propofitions vingt-deux & vingttrois font inutiles.

PL. 2.

Fig. 30.

PROPOSITION XXIV.

THEOREM E.

Si un corps folide eft terminé par des plans paralleles; les oppofez feront des parallelogrames femblables & égaux.

Ile folide AB eft terminé par des plans paralleles, les furfaces oppofées feront des parallelogrames femblables & égaux. Démonftration.

Les plans paralleles AC, BE font cou pés fur le plan EF: donc les communes

fections AF, DE font paralleles (par la 16.) Pareillement DF,AE: donc AD fera un parallelograme. Je démontrerai de la même façon, que AG, FB, CG,& les autres font des parallelogrames. J'ajoûte que les parallelogrames oppofés, par exemple, AG, BF, font femblables & égaux. Les lignes AE, EG font paralleles aux lignes FD, BD, & encore égales: donc les angles AEG, FDB font égaux (par la 15.) Je puis ainfi démontrer, que tous les côtez, & tous les angles des parallelogrames oppofés, font égaux. Donc les parallelogrames font femblables & égaux.

PROPOSITION XXV.

THEOREM E.

Si on divife un parallelepipede, par un plan parallele à un des fiens; les deux corps folides, qui réfulteront de cette divifion, feront en méme raison que leurs bafes.

S!

I le parallelepipede AB, eft divifé Pl. 22 par le plan CD, qui foit parallele aux Fig. 31, plans oppofés AF, BE: le folide AC eft à DB, en même raison que la base AI à la base DG. Qu'on s'imagine que la ligne AH, qui marque la hauteur de la figure,

و

eft divifée en autant de parties égales qu'on voudra; par exemple en dix mille, que nous pouvons prendre indivisiblec'est-à-dire, fans penfer qu'on le peut foûdivifer. Qu'on s'imagine auffi autant de furfaces paralleles à la bafe AG, qu'il y a de parties dans la ligne AH: je n'en marque qu'une feule pour toutes, qui fera OS: de forte que le folide AB foit composé de toutes ces furfaces de même épaiffeur, comme feroit une rame de pa pier compofée de toutes les feuilles pofées l'une fur l'autre. Il est évident que pour lors le folide AC fera compofé de dx mille furfaces égales à la base AI ( par la préced. ) & le folide DB, contiendra dix mille furfaces égales à la bafe DG. Demonftration.

Chaque furface du folide AC, a même raifon à chaque furface du folide DB; que la base AI, à la base DG; puisqu'elles font chacunes égales à leurs bafes: donc (par la 3. du 5.) toutes les furfaces du folide AC prifes enfemble, auront même raifon à toutes les furfaces du folide DB, que la bafe AI, à la bafe DG. Or toutes les furfaces du folide AC, compofent AC, qui n'a point d'autres parties que ces furfaces: & toutes les furfaces du folide DB, ne font autre chofe que le folide DB: donc le fo

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