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lide AC, a même raison au folide DB
que la base AI, à la base DG.
USAGE.

Cette façon de démontrer eft de Cavalerius je la trouve très-claire, pourvû qu'on s'en ferve comme il faut, & que la ligne qui fert de mesure aux épaiffeurs des furfaces, foit prife de même façon dans l'un &dans l'autre terme. Je m'en fervirai encore ci-après, pour rendre plus faciles quelques demonftrations trop embrouillées.

PROPOSITION XXVI

THEOREM E.

Un parallelepipede fe divife en deux égai lement, par le plan diagonal, ou en deux prifmes égaux.

Q

UE le parallelepipede AB foit divi-Pl. z. fé par le plan CD, tiré d'un angle à Fig 32. l'autre Je dis qu'on l'a partagé en deux également. Qu'on s'imagine que la ligne AE eft divifée en autant de parties qu'on voudra, & qu'on a tiré par chacune, autant de plans paralleles à la base AF: chacun de ces plans, eft un parallelograme égal à la bafe AF (par la 24.).

L

Démonftration.

Tous les parallelogrames qu'on peut tirer paralleles à la bafe AF, font divifés en deux également par le plan CD : car les Triangles qui fe formeront de côté & d'autre du plan CD, ont leur bafe commune égale à CG; & les côtez égaux puifque ce font ceux d'un parallelograme. Or il est évident que le parallelepipede AB, ne contient autre chofe que fes furfaces parallelogrames, chacune defquel les eft divifée en deux Triangles égaux: donc le parallelepipede AB, eft divifé en deux également par le plan CD.

Les Propofitions XXVII. & XXVIII. font inutiles felon cette façon de démontrer. Les Propofitions XXIX. & XXX. font auffi inutiles.

PROPOSITION XXXI.

THEOREME.

Les parallelepipedes de même hauteur,
ont la même bafe, ou des bafes égales,
font égaux.

Pl. I. Fig. 33.-1 & 34.

S

I les parallelepipedes AB, CD ont une égale hauteur perpendiculaire AE: FG; avec des bafes AH, CI,ou égales,ou la même; ils feront égaux. Qu'on pofe les

deux bafes AH, CI fur le même plan; puifque les hauteurs perpendiculaires font égales, les bafes EB, FD feront dans le même plan parallele à celui des bases AH, CI. Qu'on s'imagine que la ligne FG ou EA eft divifée en autant de parties égales qu'on voudra: par exemple en dix mille; & qu'on tire par chacune des furfaces ou plans de même épaiffeur (pour ainfi dire) je n'en marque qu'un pour tous, qui fera KM. Chaque furface formera dans les folides un plan parallele semblable, & égal à la bafe (par la 24.) comme KL, OM: & il y en aura autant dans un folide, que dans l'autre ; puifque leur épaiffeur què je prends perpendiculairement dans les lignes des hauteurs, eft égale.

Démonftration.

Il y a même raifon de la bafe AH à la bafe CI, que de chaque plan KL à OM. Or il y en a pareil nombre dans l'un, que dans l'autre ainfi il y aura même raifon de tous les antecedens à tous les confequens; c'est-à-dire, de tout le folide AB, à tout le folide CD; que de la bafe AH à la bafe CI. On fuppofe auffi que les bafes font égales: donc les folides AB, CD font égaux.

Coroll. Pour avoir la folidité d'un parallelepipede, on multiplie fa bafe par fa Ff iiij

& 34.

hauteur prife perpendiculairement, parce que cette perpendiculaire montre combien on trouve de furfaces égales à la base. Comme, fi je prens le pieds pour mesure indivifible, c'est-à-dire, que je ne veux pas foudivifer: fi la bafe contenoit 12. pieds quarrés,& que la hauteur perpendicu laire fût de 10 pieds ; j'aurois 120. pieds cubiques pour la folidité du corps AB. Car puifque la hauteur AE, a 10. pieds ; je puis faire 10. parallelogrames égaux à la bafe, & qui auront chacun 1. pied d'épaiffeur. Or la bafe avec l'épaiffeur d'un pied, fait 12. pieds cubiques: elle en fera donc 120. fi elle a la hauteur de 10. pieds.

PROPOSITION XXXII.

THEOREM E.

Les parallelepipedes de même hauteur,font en même raifon que leurs bafes.

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Pl. 2. T'A y démontré cette Propofition dans Fig. 33. J la précedente, prouvant qu'il y avoit y même raifon du parallelepipede AB au parallelepipede CD, que de la base AH à la bafe ĈI.

Fig. 33.

Coroll. Les parallelepipedes qui ont les bafes égales, font en même raifon que leurs hauteurs; comme les parallelepipe

des AB, AL, qui ont pour hauteurs perpendiculaires AK, AE: car fi on divife la hauteur AK en autant de parties aliquotes qu'on voudra, & AE en autant de parties égales à ces premieres, qu'elle en contiendra, & fi on tire par chacune des plans paralleles à la bafe, autant que AE contiendra de parties aliquotes de AK, autant le folide AB contiendra de furfaces égales à la bafe, lefquelles font parties aliquotes du folide AL. Donc il y aura même raison du folide AB au folide AL, que de la hauteur AE à la hauteur AK.

USAGE.

Les trois Propofitions précedentes contiennent prefque tous les mefurages des parallelepipedes, & fervent comme de premiers principes dans cette matiere. C'est ainsi que nous mefurons la folidité des murailles,multipliant leurs bafes par leurs hauteurs.

PROPOSITION XXXIII

THEOREM E.

Les parallelepipedes femblables, font en rai jon triplee de leurs côtez homologues.

I les parallelepipedes AB, CD font Pl. 2: femblables; c'est-à-dire, fi tous les Fig. 35.

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