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plans de l'un font femblables aux plans de l'autre ; & fi tous leurs angles font égaux, de forte qu'on les puiffe placer en ligne droite, c'est-à-dire, que AE, EF, HE, EI, GE,EC foient des lignes droites, & qu'il y ait même raifon de AE à EF, que de HE à EI, & que de GE à EC. Je dois démontrer que quatre folides font continuellement proportionnels, felon la rai fon du côté EA, à celui qui lui eft ho mologue qui fera EF, ou DI.

Démonftration.

Le parallelepipede AB, a même raison à EL de même hauteur, que la bafe AH à la bafe EO ( par la 3 2.) Or la base AH à la bafe EO, a même raifon que AE à EF (par la 1. du 6.) Pareillement la raifon du folide EL au folide EK eft la même que de la bafe EO à la bafe ED, c'eft-à-dire, que de HE à EI. Enfin le folide EK au folide EN, a même raifon que la hauteur GE à la hauteur EC ( par le Corol. préced.) ou prenant la ligne EF pour la hauteur commune, que de la base GI à la base CI, c'est-à-dire, que de GE à EC. Or la raifon de AE à EF, de HE à EI, de GE à EC, eft la même comme nous le fuppofons. Par confequent,il y a même raifon du folide AB à EL, que de EL à EK, & de EK à CD. Donc (par la défin, 12. du s.)

la raifon de AB à CD, fera triplée de celle de AB à EL, ou de AE à son côté homologue EF.

Coroll. 1. Il s'enfuit que les parallelepipedes femblables, font comme les cubes de leurs côtez homologues, parce que les cubes font auffi en raifon triplée de leurs côtez.

Coroll. 2. Si quatre lignes font continuellement proportionnelles, le parallelepipede décrit fur la premiere, a même raifon à un semblable parallelepipede dé crit fur la feconde, que la premiere à la quatriéme; car la raifon de la premiere à la quatrième, eft triplée de la premiere à la feconde.

USAGE.

Vous pouvez comprendre par cette Propofition,que le célebre Probléme de la duplication du cube propofe par l'Oracle, confif te à trouver deux moyennes continuellement proportionnelles. Car fi vous pofez pour premier terme,le côté du premier cube; que le quatrième terme foit le double de ce premier: fi vous trouviez deux moyennes proportionnelles ; le cube décrit fur la premiere ligne auroit méme raifon à celui qu'on décriroit fur la feconde, que la premiere ligne à la quatrième, qui feroit comme un à deux. Nous corrigeons auffi par cette Propofition la fauffe opinion de ceux qui s'imaginent,

que les folides femb.ables,font en méme rai fon que leurs cotez : comme fi un cube d'un pied de long étoit la moitié d'un cube de deux pieds de long, quoiqu'il ne foit que fa huitième partie. C'est le principe de la regle de calibre, laquelle fe peut appliquer non-feulement au boulets de canon, mais encore à toute forte de corps femblables. Par exemple, j'ai vu une perfonne qui vouloit faire une Architecture navale, & qui vouloit garder les mémes proportions dans toutes fortes de Vaiffeaux: mais il raisonnoit ainfi ; fi un Vaiffeau de cent tonneaux doit avoir cinquante pieds de quille, celui de deux cens devra avoir cent pieds de quille. En quoi il fe trompoit ; car au lieu de faire un vaiffeau double du premier, il le faifoit octuple. Il devroit donner au second Vaiffeau, pour être double du premier, un peu moins de foixante-trois pieds.

Pl. 20 Fig. 36.

& 37.

PROPOSITION XXXIV.

THEOREMЕ.

Les parallelepipedes égaux ont les bafes & les hauteurs réciproques, & ceux qui ont les hauteurs & les bafes réciproques, font égaux.

I les parallelepipedes AB, CD font égaux, ils auront les bafes & les hau

teurs réciproques; c'eft-à-dire, il y aura même raifon de la bafe AE à la bafe CF que de la hauteur CH à la hauteur AG. Ayant fait CI égale à AG, tirez le plan IK parallele à la bafe CF.

Démonftration.

Le parallelepipede AB, a même raison à CK de même hauteur, que la base AE à CF(par la 32.) Or comme AB eft à CK, ainfi CD eft au même CK, puifque; AB & CD, font égaux : & comme CD eft à CK, qui a la même base, ainfi la hauteur CH eft à la hauteur CI (par le Corol. de la 32.) donc, comme la bafe AE eft à la bafe CF, ainfi la hauteur CH est à la hauteur CI ou AG.

J'ajoûte, que s'il y a même raifon de AE à CF, que de la hauteur CH à la hauteur AG; les folides AB,CD feront égaux. Démonftration.

Il y a même raifon de AB à CK de même hauteur, que de la bafe AE à la bafe CF (par la 32.) il y a auffi même raifon de la hauteur CH à la hauteur CI ou AG, que de CD à CK : nous fuppofons que la raifon de AE à CF, eft la même que celle de CH à CI ou AG; ainfi il y aura même raifon du folide AB au folide CK, que du folide CD au même folide CK. Donc (par la 9. du 5.)

Pl. 2.

les folides AB, CD font égaux.

USAGE.

Cette réciprocation des bafes, & des bauteurs, rend ces folides faciles à mefurer: elle a méme quelque analogie avec la Propofition quatorzieme du fixiéme Livre, qui porte que les parallelogrames équiangles & égaux, ont les cotez réciproques, elle demontre aussi bien qu'elle, la prasique de la regle de trois.

Fig. 38. $9.84c.

La Propofition 35. eft inutile.

PROPOSITION XXXVI.

THEOREMЕ.

Si trois lignes font continuellement proportionnelles, le parallelepipede fait de ces trois lignes eft égal à un parallelepipede équiangle, qui a tous fes cotez égaux

à celle du milieu.

I

ST les lignes A, B, C font continuelle

ment proportionnelles, le parallelepipede EF, formé de ces trois lignes, c'està-dire, qui a le côté FI égal à la ligne A, EH égal à B & HI égalà C, eft égal au parallelepipede équiangle KL, qui a les côtez LM, MN, KN, égaux à la ligneB. Qu'on tire des points H & N les lignes

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