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gle, dont BD eft la hauteur, & la bafe eft la circonference d'un Cercle, dont DE eft le diametre, par le Lemme VI. ainfi il faut prouver que le rectangle de BD, par la circonference du Cercle, dont DE eft diametre, est égal au rectangle de BE, par la circonference du Cercle, dont DF eft le diametre.

Les deux Triangles DEF & DEB font femblables: donc BD, BE:: DF, DE, or DF eft à DE, comme les circonferences des Cercles, dont ils font les diametres; partant le rectangle de BE, par la circonference du Cercle, dont DE eft le diametre, eft égal au rectangle de BE, par la circonférence du Cercle, dont DF eft le diametre. Ce qu'il falloit prouver.

THE ORE ME XX.

La furface d'un Spheroïde eft égal au rectangle fait de fon axe par la circonference du Cercle, ou Sphere qui lui eft infcrite.

PAR

AR le Theoreme précedent, puifque la furface de chaque partie du Spheroïde, est égale au rectangle fait de chaque partie de fon axe à laquelle elle répond, & de la circonference du Cer

cle

cle ou Sphere, qui lui eft infcrite, toute la furface entiere fera égale au rectangle de tout l'axe par la circonference du Cercle ou Sphere qui lui eft infcrite, puifque le tout & fes parties font un produit égal, quand ils font multipliés par une même grandeur.

THEOREM E X X I.

La furface d'une Sphere eft égale au rectangle de fon axe par la circonference d'un Cercle, qui a méme diametre que cette Sphere.

Cmée par la révolution d'un demi

AR on fçait que la Sphere eft for

Cercle, fur fon diametre comme axe; or par le III. Lemme, le Cercle peut être confideré comme un polygone régulier d'une infinité de côtez, ainfi par la définition du Spheroïde, la Sphere est un Sphéroïde d'une infinité de côtez, dont l'axe par confequent eft égal à l'axe ou diametre de la Sphere; ainfi puifque par le précedent Theoreme, la furface du Spheroïde eft égale au rectangle fait de fon axe par la circonference d'un Cercle, dont le diametre eft celui de la Sphere

Pl. 3.

Fig. 14.

qui lui eft infcrite, la furface de cette Sphere fera égale de même au rectangle fait de fon axe, & de la circonference d'un Cercle, qui a même diametre que cette Sphere. Ce qu'il falloit démontrer.

THEOREME XXI I.

La furface d'une Sphere eft égale à celle du contour d'un Cylindre où elle eft infcrite, qui a même hauteur que fon axe..

A furface de la Sphere AMCN, est à

par la circonference du Cercle fait fur font diametre MN. Or la furface du Cylindre où cette Sphere eft infcrite, dont les côtez DP, EQ font égaux à AC, qui eft l'axe de cette Sphere eft égale à ce même rectangle; car comme on l'a pu remarquer, elle eft égale au rectangle fait de PD, par la circonference du Cercle de fa bafe, qui a pour diametre PQ, égal à MN, puifque le diametre d'une Sphere inferite dans un Cylindre, doit être égal à celui de la bafe du Cylindre, felon l'idée qu'on a des figures infcrites.

Or puifque la furface de la Sphere eft égale à celle du Cylindre dans lequel elle

eft infcrite, & que cette furface de Cylindre eft quadruple du Cercle de fa bafe; il s'enfuit que la furface d'une Sphere fera quadruple de celle de fon grand Cercle, puifque ce Cercle eft le même que celui qui fert de bafe au Cylindre, où la Sphere eft inscrite..

THEOREME XXIII.

-Si on coupe une Sphere infcrite dans un Cylindre par des plans perpendiculaires à fon axe, la furface de chaque partie de la Sphere eft égale à celle de la partie du Cylindre qui lui répond..

N voit que AC axe de la Sphere, la qauteur du Cylindre où la Sphere eft infcrite, ainfi ce Cylindre touche par fes deux bafes cette Sphere, je coupe l'axe AC par des plans perpendi→ culaires fur lui, qui coupe auffi le Cylin dre je dis que la furface de la partie MHTN, eft égale à celle de la partie MGFN du Cylindre, comme auffi la furface de HAT, à celle de EFGD.

Car on peut prendre cette Sphere pour un Sphéroïde, ainfi la partie MHTŃ, & HAT pour des portions de Spheroïde;

ainfi par le Theoreme 19. la furface de MHIN, eft égale au rectangle BO, par la circonference d'un Cercle, dont MN eft le diametre, auquel rectangle. eft égal la furfacé de FGMN, de même la furface de HAT, eft égale au rectangle de AB, par la circonference d'un Cercle, dont GF eft le diametre, auquel est égale la furface de la partie DEFG.

Par ce qui vient d'être dit dans les Propofitions précedentes, on pourra connoître aifément la fuperficie d'une Sphere, parce qu'on trouve par approximation la circonference.de fon grand: Cercle, qui eft à fon diametre, comme 7 eft à 22, felon Archimede: & comme nous avons fait voir dans le III. Lemme, qu'un Cercle étoit égal à un Triangle, qui avoit pour base la circonference du Cercle, & pour hauteur le rayon, on connoîtra la furface de la Sphere, puifqu'elle eft quatre fois celle de fon grand Cercle: il nous refte maintenant à faire voir le rapport que la folidité d'une Sphere a avec celle d'un Cylindre, dans lequel elle feroit infcrite.

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