.

ACB que je fuppofe étre de 40. degrez. Il faut de plus connoître l'angle ACD, qui fera, par exemple, de 108. degrez; à l'autre extrémité D de la bafe prenez comme ci-devant les angles ADB & CDB; je suppofe le premier de 60. degrez, & le fecond de 98. Comme la bafe CD eft commune aux deux Triangles ACD & CDB, & qu'on peut en connoître la longueur, qui fera, par exemple, de 100. toifes; tout ceci étant connu, il eft aifé de parvenir à la connoiffance de l'angle ABC, lequel étant une fois trouvé, fi l'on fait l'angle BCE qui lui foir égal, la ligne CE fera parallele à AB, à caufe de l'égalité des angles alternes ABC, BCE.

PROPOSITION XXXII.

THEOREM E.

L'angle exterieur d'un Triangle, eft égal aux deux interieurs oppofes pris enfemble, & les trois angles d'un Triangle rece tiligne font égaux à deux droits.

Q

Ue le côté BC du Triangle ABC Fig. 65 foit continué en D, je dis que l'angle exterieur ACD eft égal aux deux an

E

gles interieurs A & B pris enfemble. Tirez par le point C, la ligne EC, parallele à AB.

Démonftration.

La ligne AB eft parallele à CE, par confequent les angles ABC & ECD font égaux: & de plus ces deux lignes étant paralleles, les angles alternes BAC & ACE font égaux; donc l'angle exterieur ACD eft égal aux deux interieurs A & B.

Je démontre encore que les trois angles du Triangle valent deux droits; car l'angle exterieur ACD, ne peut les valoir, que lorsqu'on lui aura ajoûté l'angle ACB, qui cft le troifiéme angle du Triangle ACB. D'où je conclus que les trois an gles d'un Triangle valent deux droits, puifque l'angle exterieur qui eft égal aux deux interieurs A & B, les vaudra en lui ajoûtant le troifiéme ACB.

Voici encore une autre maniere de démontrer cette Propofition; tirez la parallele EF à la bafe BC. Les deux côtez AB Fig. 66. & AC font avec cette parallele trois angles qui valent deux droits, au point angulaire commun A. Pour démontrer que les trois angles BAE, BAC & CAF valent les trois angles du Triangle ABC; remarquez que l'angle ABC eft égal à fon alterne EAB, & que pareillement l'autre

angle ACB, eft auffi égal à fon alterne CAF, le troifiéme angle BAC eft commun; ce qui fait voir que les trois angles. propofés, dont la fomme vaut deux droits, font égaux aux trois angles du Triangle C. Q. F. D.

COROLLAIRE 1.

L'angle exterieur d'un Triangle, eft plus grand que chacun des deux autres interieurs oppofes; ce qui eft bien évident puifqu'il les vaut tous deux.

2. Les deux angles d'un Triangle pris ensemble valent moins que deux droits. Ceci eft inconteftable, puifque nous avons démontré qu'il les faloit tous trois pour les valoir.

3. Les trois angles d'un Triangle pris enfemble, font égaux aux trois angles d'un autre Triangle; ceci eft bien vrai, puifque dans l'un & dans l'autre les trois angles valent deux droits, & commé les angles droits font invariables, ceci doit être general.

4. Si les deux angles d'un Triangle font égaux aux deux angles d'un autre Triangle, leurs troifiémes angles le feront auffi.

5. Si dans un Triangle, il fe trouve un angle droit, les deux autres feront aigus & ces deux angles aigus vaudront enfemble un droit.

Pl. 4. Fig. 67.

6. Chaque angle d'un Triangle équila teral, eft de 60. degrez; & par confequent les trois angles pris enfemble, vaudront 180. degrez. Ce qui eft general dans tous les Triangles rectilignes; foit qu'ils foient ifofceles, ou rectangles, ou ambligones, ou scalenes, ainfi des autres.

PROPOSITION XXXIII.

THEOREM Е.

Les deux lignes font égales & paralleles, qui font tirées du meme côté, par les extrémitez des deux autres lignes paralleles égales,

Q

Ue les lignes AB, CD foient paralleles & égales, & qu'on tire les lignes AC, BD, par leurs extrêmitez du même côté : Je dis que les lignes AC, BD font égales & paralleles. Tirez la diągonale BC.

Démonftration.

Puifque les lignes AB, CD font paraldeles; les angles alternes ABC, BCD seront égaux. Ainfi les Triangles ABC, BCD, qui ont le côté BC commun, & les côtez AB, CD égaux, avec les an

gles ABC, BCD, auront les bafes AC, BD, égales (par la 4.) comme auffi les angles DBC, BCA: lefquels étant alternes, les lignes AC, BD font paralleles.

USAGE.

On met en pratique cette Propofition pour mefurer tant les hauteurs perpendiculaires AG des montagnes, que les lignes horizontales CG, qui font cachées dans leurs épaiffeurs. Servez-vous d'une équerre fort longue, ADB, que vous mettrez au point A, de forte que fon côté DB foit à plomb. Mefurez les côtez AD, DB, faites-en de même au point B, & mefurez BE, EC: les cótez paralleles à l'horizon, c'eft-à-dire, AD, BE ajoûtés enfemblé, donnent la ligne horizontale CG; & les côtez à plomb DB, EC, donnent la hauteur perpendiculaire AG. Cette façon de mefurer fe nomme cul

tellation.

Pl. 4.

Fig. 68.

Cette Propofition peut encore fervir pour mefurer fur la terre une ligne acceffible par fes deux extrémitez, & inacceffible par le milieu. Car fi l'on tire de fes deux extrémirez deux lignés quelconques égales & paralleles, & qu'on mefure la ligne qui joint les extrémitez de ces deux mêmes lignes, on aura la grandeur de la ligne propofte fur la terre. Voyez la Géométrie Pratique des Ingenieurs.