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ACB que je fuppofe étre de 40. degrez. Il faut de plus connoître l'angle ACD, qui fera, par exemple, de 108. degrez; à l'aire extrémité D de la base prenez comme ci-devant les angles ADB & CDB; je fuppose le premier de 60. degrez, & le second de 98. Comme la base CD est commune aux deux Triangles ACD & CDB, & qu'on peut en connoître la longueur, qui fera, par exemple, de 100. toifes; tout ceci étant connu, il est aisé de parvenir à la connoifSance de l'angle ABC, lequel étant une fois trouvé, si l'on fait l'angle BCE qui lui soit égal, la ligne CE sera parallele a AB, à cause de l'égalité des angles alternes ABC,

BCE.

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PROPOSITION XXXII.

THEOREME.

L'angle exterieur d'un Triangle, est égal aux deux interieurs opposés pris enfemble, & les trois angles d'un Triangle rece tiligne font égaux à deux droits.

Q

Ue le côté BC du Triangle ABC Fig. 65% soit continué en D, je dis que l'an

gle exterieur ACD est égal aux deux ant

E

gles interieurs A & B pris ensemble. Tirez par le point C, la ligne EC, parallele à AB.

Démonstration.

La ligne AB est parallele à CE, par confequent les angles ABC & ECD font égaux: & de plus ces deux lignes étant paralleles, les angles alternes BAC & ACE font égaux; donc l'angle exterieur ACD est égal aux deux interieurs A & B.

Je démontre encore que les trois angles du Triangle valent deux droits; car l'angle exterieur ACD, ne peut les valoir, que lorsqu'on lui aura ajoûté l'angle ACB, qui est le troisiéme angle du Triangle ACB. D'où je conclus que les trois an gles d'un Triangle valent deux droits, puisque l'angle exterieur qui est égal aux deux interieurs A & B, les vaudra en lui ajoûtant le troifiéme ACB.

Voici encore une autre maniere de démontrer cette Proposition; tirez la parallele EF à la base BC. Les deux côtez AB

Fig. 66. & AC font avec cette parallele trois angles qui valent deux droits, au point angulaire commun A. Pour démontrer que les trois angles BAE, BAC & CAF vaJent les trois angles du Triangle ABC; remarquez que l'angle ABC est égal à fon alterne EAB, & que pareillement l'autre

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angle ACB, est aussi égal à son alterne CAF, le troifiéme angle BAC eft commun; ce qui fait voir que les trois angles proposés, dont la somme vaut deux droits, font égaux aux trois angles du Triangle C. Q. I. D.

COROLLAIRE 1.

L'angle exterieur d'un Triangle, est plus grand que chacun des deux autres interieurs oppofés; ce qui est bien évident, puisqu'il les vaut tous deux.

2. Les deux angles d'un Triangle pris ensemble valent moins que deux droits. Ceci est incontestable, puisque nous avons démontré qu'il les faloit tous trois pour les valoir.

3. Les trois angles d'un Triangle pris ensemble, sont égaux aux trois angles d'un autre Triangle; ceci est bien vrai, puifque dans l'un & dans l'autre les trois angles valent deux droits, & comme les angles droits font invariables, ceci doit être general.

4. Si les deux angles d'un Triangle font égaux aux deux angles d'un autre Triangle, leurs troifiémes angles le feront auffi.

5. Si dans un Triangle, il se trouve un angle droit, les deux autres feront aigus, & ces deux angles aigus vaudront enfemble un droit.

Pl. 4. Fig. 67.

6. Chaque angle d'un Triangle équilateral, est de 60. degrez; & par consequent les trois angles pris ensemble, vaudront 180. degrez. Ce qui est general dans tous les Triangles rectilignes; soit qu'ils foient ifofceles, ou rectangles, ou ambligones, ou scalenes, ainsi des autres.

PROPOSITION XXXΙΙΙ.

THEOREME.

Les deux lignes font égales & paralleles, qui ssnt tirées du meme côté, par les extrémitez des deux autres lignes paralleles &igales,

Q

Ue les lignes AB, CD foient paralleles & égales, & qu'on tire les lignes AC, BD, par leurs extrêmitez du mêmẹ côté : Je dis que les lignes AC, BD font égales & paralleles. Tirez la dią gonale BC.

Démonstration.

Puisque les lignes AB, CD font paralleles; les angles alternes ABC, BCD feront égaux. Ainsi les Triangles ABC, BCD, qui ont le côté BC commun, & les côtez AB, CD égaux, avec les an

gles ABC, BCD, auront les bases AC, BD, égales (par la 4.) comme aussi les angles DBC, BGA: lesquels étant alternes, les lignes AC, BD font paralleles. USAGE.

On met en pratique cette Propofition pour mesurer tant les hauteurs perpendiculaires AG des montagnes, que les lignes horizontales CG, qui font cachées dans leurs épaisfeurs. Servez-vous d'une équerre fort longue, ADB, que vous mettrez au point A, de forte que son côté DB soit à plomb. Mefurezles cótez AD, DB, faites-en de même au point B, & mesurez BE, EC: les cô tez paralleles à l'horizon, c'est-à-dire, AD, BE ajoûtés ensemblé, donnent la ligne horizontale CG; & les côtez à plomb DB, EC, donnent la hauteur perpendiculaire AG. Cette façon de mesurer se nomme cultellation.

Cette Propofition peut encore fervir pour mesurer fur la terre une ligne accessible par fes deux extrémitez, & inaccessible par le milieu. Car si l'on tire de ses deux extrémitez deux lignes quelconques égales & paralleles, & qu'on mesure la ligne qui joint les extrémitez de ces deux mêmes lignes, on aura la grandeur de la ligne proposte sur la terre. Voyez la Géométrie Pratique des Ingenieurs.

Pl. 4. Fig. 68.

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