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Pl. 4. Fig. 67.

PROPOSITION XXXIV.

THEOREM E.

Lss côtez, & les angles oppofés dans un parallelograme, font égaux; & la diagonale le partage en deux également.

figure ABDC foit un paral

Qlelograme, c'eft-à-dire, que les cô

tez AB, CD, AC, BD, foient paralleles. Je dis que les côtez oppofés AB, CD & AC, BD font égaux auffi bien que les angles BAC & BDC; ABD ACD: & que la diagonale BC partage toute la figure en deux également.

Demonftration.

Les lignes AB, CD font fuppofées paralleles donc les angles alternes ABC, BCD, feront égaux. Pareillement les côtez AC, BD, étant fuppofez paralleles, les angles alternes ACB, CBD feront égaux. De plus, les Triangles ABC, BCD, qui ont le même côté BC, & les angles ABC, BCD, ACB, CBD égaux, seront égaux en tous fens (par la 26.) Donc les côtez AB, CD; AC, BD, & les angles A & D font égaux : & la diagonale

CB, partage la figure en deux également : & puifque les angles ABC, BCD, ACB, CBD font égaux, mettant ensemble ABC, CBD; BCD, ACB, nous concluons que les angles oppofés ABD,ACD feront égaux étant formés de ces angles égaux. USAGE.

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Pl. 45

Les Arpenteurs ont quelquefois befoin de cette Propofition, pour faire des partages. Si un champ eft parallelogramme, on le peut partager en deux également par la diagona le AD. Que fi on eft obligé de le partager Fig. 69. par le point E, divifez la diagonale AĎ en deux également en F, & tirez la ligne EFG, elle partagera la figure en deux éga lement. Car les Triangles AEF, FGD qui ont les angles alternes EAF, FDG, AEF, FGD, & les côtez AF, FD égaux, font égaux (par la 26.) Et puifque le trapeze BEFD, avec le Triangle AFE, c'est-àdire, le Triangle ADB, eft la moitié du parallelograme (par la 34.) le méme trapeze EFDB, avec le Triangle DFG, sera la moitié de la figure. Donc la ligne EG la divife en deux egalement.

La Propofition inverfe de ce Theorême Fig, 67. eft auffi veritable, fçavoir que fi les côtez oppofes AB, CD, font égaux, auffi bien les deux oppofes AC, BD, la figure ADBC fera un parallelograme,à caufe de

que

l'égalité des deux Triangles ABC, BCD (par la 8.) D'où l'on tire l'origine & la démonftration de cette regle double, que l'on appelle regle parallele.

On peut ici démontrer facilement l'onziéme Maxime d'Euclide, qui porte que fi Pl. 4. une ligne droite, comme EF, coupe les deux Fig. 70. AB, CD, en forte que les deux angles interieurs BEF: DFE, qui font d'un même côté, foient enfemble moindres que deux droits, les deux lignes AB, CD, étant prolongées concourront de ce même côté.

Pour démontrer cette verité, il fuffira d'avoir démontré que fi du même côté des angles interieurs BEF, DFE, on tire la droite GH terminée par les deux lignes AB CD, & parallele à la ligne EF, cette ligne GH fera moindre que la ligne EF. Pour cette fin tirez par le point H la droite HI parallele à la ligne AB. Il eft evident que cette ligne HI rencontre la ligne EF au point L'entre les points E, F, parce que fi elle la rencontroit au-delà du point F, comme en L, il s'enfuivroit que les deux angles BEF, HLF, feroient égaux à deux droits, & par confequent plus grands que les deux BEF, & DFE, qui font fuppofes moindres que deux droits, & qu'ainfi en otant l'angle commun BEF, il refteroit Pangle HLE plus grand que l'angle DFE,

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ce qui eft impoffible, parce que l'angle HFE
étant exterieur, eft plus grand que l'interieur
HLE. (par la 16.) Donc puifque le point
I, tombe entre les deux E & F, & que la
figure GHIE, eft un parallelograme, dont
les côtez oppofes GE, HI font égaux, com-
me il a été démontré; il s'enfuit que la
ligne GH eft plus petite que la ligne EF.
Ce qu'il faloit démontrer.

PROPOSITION XXXV.

THEOREM E.

Les Parallelogrames font égaux, quand
ayant la meme bafe, ils font entre les
mêmes paralleles.

Q

UE les parallelogrames ABEC, Pl. 4.
ABDF, ayent la même bafe AB, & Fig. 71.
qu'ils foient entre les mêmes paralleles
AB, CD: Je dis qu'ils font égaux.

Démonftration.

Les côtez AB, CE, font égaux (par la 34.) comme auffi AB, FD: donc CE FD font égales; & y ajoûtant EF, les lignes CF, ED feront égales. Les Triangles CFA, EDB, ont les côtez CA, EB, CF, ED égaux & les angles DEB, FCA

Pl. 4.

Fig. 72.

l'un étant exterieur, & l'autre interieur du même côté, donc (par la 4.) les Triangles ACF, BED font égaux : & leur ôtant à tous deux ce qu'ils ont de commun, c'est-à-dire, le petit Triangle EFG, le trapeze FGBD, fera égal au trapeze CAGE: & ajoûtant à tous deux le petit Triangle AGB, les parallelogra mes ABEC, ABDF feront égaux.

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PROPOSITION XXXVI.

THEOREM E.

Les Parallelogrames font égaux, qui étant entre les mêmes parallèles, ont des bafes égales.

Q

U E les bafes CB, OD, des parallelogrames ACBF, ODEG foient égales, & que l'un & l'autre foit entre les paralleles AE, CD. Je dis que les parallelogrames font égaux. Tirez les lignes CG, BE.

Démonftration.

Les bafes CB, OD, font égales: OD, GE font auffi égales: donc CB, GE, font égales & paralleles ; & par confequent (fuivant la 33.) CG, BE feront

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