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égales & paralleles ; & CBEG fera un parallelograme égal à CBFA (par la 35.) puifqu'ils ont la même base. Pareillement prenant GE pour bafe, les parallelogrames GODE, CBEG font égaux (par la même.) Ainfi les parallelogrames ACBF ? ODEG font égaux.

USAGE.

Nous réduifons les parallelogrames qui ont les angles obliques, comme CBEG ou ODEG, a des rectangles, comme CBFA, de forte que mefurant ce dernier, ce qui eft facile; c'est-à-dire, multipliant AC par CB, le produit fera égal au parallelograme ACBF, & par confequent au parallelograme CBEG, ou ODEG.

PROPOSITION XXXVII,

THEOREM E.

Les Triangles font égaux, qui ayant la même bafe, font entre les mémes paralleles.

Es Triangles ACD, CDE feront pl. 4 Légaux, s'ils ont la même base CD, Fig. 77,

& s'ils font renfermés entre les paralleles AF, CH. Tirez les lignes DB, DF, pa

Pl. 4.

ralleles aux lignes AC, CE, & vous aurez formé deux parallelogrames. Demonstration.

Les parallelogrames CABD, CEFD, font égaux (par la 35.) les Triangles ACD, CDE font leurs moitiés (par la 34.) Donc les Triangles ACD, CDE font égaux.

PROPOSITION XXXVIII.

THEOREM E.

Les Triangles font égaux, qui ayant des bafes égales, font renfermés entre les mémes paralleles.

PLEs Triangles ACD, GEH, font Légaux, Fig. 73. égaux, s'ils ont les bafes CD, GH égales, & s'ils font renfermés entre les paralleles AF, CH. Tirez les lignes BD, HF, paralleles aux côtez AC, EG: & vous aurez formé deux parallelogra

mes.

Démonftration.

Les parallelogrames, ACDB, EGHF font égaux, (par la 36.) les Triangles ACD, EGH, font leurs moitiés (par la 34.) Ils font donc auffi égaux.

USAGE.

Pl. 4:

Nous avons dans ces Propofitions une Fig. 74 pratique pour partager un champ triangu laire en deux parties égales, par exemple, dans le Triangle ABC. Divifez la ligne BC, que vous prendrez pour la bafe, en deux également en D: Je dis que les Triangles ABD, ADC font égaux, Car fi vous vous imaginez une ligne parallele à BC, qui paffe par A, ces Triangles auront des bafes egales, & feront entre les mêmes paralleles,

par confequeut égaux. Nous pourrions faire d'autres partages, fondés fur la même Propofition que je laiffe, de peur d'étre trop long. Les Propofitions 39. & 40, font inutiles.

REMARQUE.

Comme il n'eft point fait mention des Fig. 75. &76. je dirai qu'elles fervent à nous faire voir le moyen d'augmenter, ou de diminuer la hauteur d'un Triangle fans changer fa grandeur; par exemple, s'il étoit queftion de changer le Triangle ABC à un autre AED qui lui foit égal, & compris entre la bafe AC & fa parallele FC, il faut prolonger AB jufqu'en E, & tirer la ligne EC à laquelle l'on menera du point B une parallele BD, qui coupe la bafe AC du Triangle ABC au point D, & tirant la ligne ED l'on formera un Triangle AED égal à ABC,

Fig. 75

Pl. 5. Fig. 77.

Demonftration.

Les Triangles CBE,CED ayant la même base EC & étant renfermés entre les mêmes paralleles EC, BD font (par la 37.) égaux. Et comme le Triangle EGC eft commun à ces deux Triangles, l'on voit que les petits Triangles EBG, DGC font égaux, & qu'étant joints à la Figure ABGD ils forment les Triangles ABC, AED. égaux.

Dans la Figure 76. il s'agit de réduire auffi un Triangle BAC à un autre BDE qui lui foit égal, & renfermé entre les paralleles BE & DG; l'on voit qu'il faut tirer la ligne DC & lui mener la parallele AE qui rencontre BC prolongé au point E, enfuite tirer la ligne DE qui donnera le Triangle BDE égal au Triangle ABC. La Démonftration eft la même que celle de la Fig. 75.

PROPOSITION XLI.

THEOREM E.

Un parallelograme fera double d'un Triangle, fi étant entre les mémes paralleles, ils ont leurs bafes égales.

S

I le parallelograme ABCD, & le Triangle EBC font entre les mêmes paralleles AE BC; & s'ils ont la même

bafe BC, ou s'ils ont des bafes égales; le parallelograme fera le double du Triangle. Tirez la ligne AC.

Demonfiration.

Les Triangles ABC, BCE, font égaux (par la 30.) Or le parallelograme ABCD eft double du Triangle ABC (par la 34.) il eft donc double du Triangle BCE. Il feroit pareillement double d'un Triangle qui ayant fa base égale à BC, feroit entre les mêmes paralleles.

USAGE.

La Methode ordinaire de mesurer l'aire Pl. s. ou la furface d'un Triangle, eft fondée fur Fig. 73. cette Propofition: Qu'on propofe le Triangle ABC: on tire de fon angle A la ligne AD,perpendiculaire a la bafe BC; & mulipliam la perpendiculaire AD par la demi bafe BE, le produit donne l'aire du Triangle; parce que multipliant AD ou EF par B,nous avons un rectangle BEFH qui eft égal au Triangle ABC. Car le Triangle ABC eft la moitié du rectangle HBCG(par la 41.) aussi bien que le rectangle BEFH,

Pl. 54

Nous mefurons toute forte de rectilignes, comme ABCDE, le partageant en Trian- Fig. 79 gles BCD, ABD, AED, tirant les lignes AD & BD,& les perpendiculaires CG,BF, EI. Car multipliant la moitié de BD, par CG, & la moitié de AD, par EI, & par

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