égal, & qui ait un angle égal à l'angle E. Partagez le rectiligne en Triangle, tirant la ligne BD: & faites (par la 42.) un parallelograme FGHI, qui ait l'angle FGH égal à l'angle E, & qui foit égal au Trian gle ABD. Faites auffi ( par la 44.) un parallelograme IHKL, qui foit égal au Triangle BCD, & qui ait une ligne égale à IH, & l'angle IHK égal à l'angle E. Le parallelograme FGKL fera égal au rectiligne ABCD. Démonftration. Il reste à prouver, que les parallelogra mes FGHI, HKLI n'en font qu'un, c'est-à-dire, que GH, HK font une ligne droite. Les angles FGH, IHK font égaux à l'angle E, & par confequent égaux: l'angle G, & GHI font égaux à deux droits, puifque nous avons fait un parallelograme GHIF. Donc les angles GHI KHI font égaux à deux droits, & ainfi (par la 14.) GH, HK font une ligne droite. USAGE. Cette Propofition eft, comme la pratique des précedentes, & fert pour mesurer la capacité de quelque figure que ce foit, la réduifant en Triangles,puis faifant un parallelograme rectangle égal à ces Triangles,qui fera égal à la figure. On peut même faire un parallelograme rectangle fur un côté déterminé, qui foit égal à plufieurs figures irregulieres. Pareillement, ayant plufieurs figures, on peut décrire un rectangle égal à leur difference. Mais ce Probléme fe peut réfoudre par une methode bien plus courte, fçavoir en réduifant le rectiligne donné en Triangle, par le Theor. 13. de la Planimetrie de Monfieur Ozanam, & en faifant un parallelograme égal à ce Triangle, ( par la 42.) Pl. 4. Fig. 88. PROPOSITION XLVI. PROBLEME. Décrire un quarré fur une ligne donnée. PAB OUR décrire un quarré fur la ligne tirez deux perpendiculaires AC, BD égales à AB, & tirez la ligne CD. Démonftration. Les angles A & B étant droits, les lignes AC,BD font paralleles (par la 28.) Elles font auffi égales (par la conftr.) Donc les lignes AB, CD font paralleles & égales (par la 33.) & les angles A & C, B & D égaux à deux droits. Et puifque A & B font droits, les angles C & D le feront auffi. Donc la figure AD, a tous les côtez égaux, & tous les angles droits, & par confequent c'est un quarré. USAGE. Cette Propofition eft comme un Lemme pour la Propofition fuivante. Elle fert dans la Fortification pour la defcription des Redoutes quarrées, pour la conftruction des Citadelles à quatre Baftions, &c. PROPOSITION XLVII THEOREM Е. Le quarré de la base d'un Triangle rectan gle, est égal aux quarrez des deux côtez, pris enfemble. ON fuppofe que l'angle BAC eft pl. s droit, & qu'on décrive des quarrez Fig. 8 fur les côtez BC, AB, AC: celui de la bafe BC fera égal aux deux quarrez des côtez AB, AC. Tirez la ligne AH parallele à BD, & joignez les lignes AD, AE; FC, BG. Je prouve que le quarré AF eft égal au rectangle BH, & le quarré AG au rectangle CH; & ainfi que le quarré BE est égal aux deux quarrez AF, AG. Démonftration. Les Triangles FBC, ABD ont les côtez, AB, BF: BD, BC égaux: & les angles FBC, ABD font égaux, puifque chacun, outre l'angle droit, contient l'angle ABC. Donc par la 4.) les Triangles ABD, FBC font égaux. Or le quarré AF, eft double du Triangle FBC, (par la 41.) puifqu'ils ont la même bafe BF, & qu'ils font entre les paralleles BF, AC. Pareillement le rectangle BH eft double du Triangle ABD,puifqu'ils ont la même bafe BD, & qu'ils font entre les paralleles BD, AH. Donc le quarré AF, eft égal au rectangle BH. De même les Triangles ACE, GCB font égaux (par la 4.) le quarré AG est double du Triangle BCG; & le rectangle CH eft double du Triangle ACE (par la 41.) Donc le quarré AG, est égal au rectangle CH; & par confequent les quarrez AF, AG, font égaux au quarré BDEC. USAGE. Fig. 90. On dit que Pythagore ayant trouvé cette Propofition, facrifia cent bœufs, pour remercier les Mufes : ce ne fut pas fans raifon, puifque cette Propofition fert de fondement à une grande partie des Mathematiques. Car premierement, la Trigonometrie ne peut pas s'en paffer, puifqu'elle lui eft néceffaire pour faire la table de toutes les lignes qu'on |