ELEMENS

DEUCLIDE

EU

LIVRE SECOND.

UCLIDE traite dans ce Livre des puiffances des lignes droites; c'està-dire, de leurs quarrez; comparant les divers rectangles qui fe forment fur une ligne divifée, tant avec le quarré qu'avec le rectangle de toute la ligne. Cette Partie eft très-utile, puifqu'elle fert de fondement aux principales Pratiques de l'Algebre. Les trois premieres Propofitions démontrent la troifiéme regle de l'Arithmetique la quatriéme nous enfeigne à tirer la racine quarrée de quelque nombre que ce foit les fuivantes, jufqu'à la huitiéme, fervent en plufiieurs rencontres dans l'Algebre : les autres nous donnent des Pratiques propres à la Trigonometrie.

Ce Livre paroît d'abord très-difficile,

che 1. Fig. 1.

parce qu'on s'imagine qu'il contient quelque myftere, néanmoins la plupart de fes démonftrations font fondées fur un principe fort évident ; qu'un tout eft égal à toutes fes parties prifes ensemble; ainsi on ne doit pas fe rebuter, quoiqu'on ne les décomprenne pas du premier coup, monftrations de ce Livre.

Le parallelograme rectangle, ou fimplement rectangle eft un quadrilatere compris fous deux lignes, dont l'une eft la hauteur & l'autre la longueur, comme Plan- nous l'avons déja dit dans les Définitions du premier Livre: c'eft de ces fortes de rectangles dont nous allons parler dans ce Livre ici; ainfi la figure BD, fera un rectangle, puifque les quatre angles A,B,C,D font droits. Suppofons que la ligne BC, foit de 6 pieds, & l'autre DC de 4 multipliant 6 par 4 on aura 24 pieds pour la valeur du rectangle BD, ce qui fait voir que pour trouver la fuperficie d'un rectangle, il faut multiplier la bafe par la

hauteur.

Fig. 2. La figure FDH s'appelle gnomon, étant comprife par les deux rectangles FE & HG, & le quarré EG,

PROPOSITION I.

THEOREME.

Si on propofe deux lignes, dont l'une foit divifee en plufieurs parties, le rectangle, compris fous ces deux lignes, eft égal aux rectangles compris fous la ligne qui n'est pas druifee, & fous les parties de celle qui eft divifee.

Q

U'ON propofe les lignes AB, AC; Pl. 1. & que AB foit divifé en tant de Fig. 3. parties qu'on voudra; le rectangle AD, compris fous les lignes AB, AC, eft égal au rectangle AG, compris fous AC, AE; au rectangle EH compris fous EG égale à AC, & fous EF; & au rectangle FD compris fous FH égale à AC,& fous FB. Démonftration.

Le rectangle AD, eft égal à toutes fes parties prifes enfemble, qui font les rectangles AG, EH, & FD; fans qu'il y en ait aucun autre. Donc le rectangle AD, eft égal aux rectangles AG, EH, FD, pris

enfemble.

Par les nombres.

La même Propofition fe verifie dans

les nombres. Suppofons que la ligne AC, eft de 5. pieds, AE de 2, FE de 4, FB de 3, & & par confequent AB de 9. le rectangle compris fous AC ; & AB 9, 5; c'eft-à-dire 5 fois 9 qui font 45, est égal à deux fois 5. ou 10. à 4. fois 5. ou 20, & à trois fois 5. ou 15; car 10. 20. & 15 font 45.

JA.

53.1

C.

B.

E.

F.

USAGE.

Cette Propofition démontre B. 8. la pratique ordinaire de la multiplication. Par exemple 50. 3. qu'on doive multiplier le nom8.bre A53, que la ligne AB reprefente, per le nombre B. 8. D. 24. Je divife le nombre A, en au400. tant de parties qu'il a de ca-• 424 racteres: par exemple,en deux, fçavoir 50 & 3 qui eft C, lef quelles je multiplie par 8, difant: 8 fois 3 font 24 qui eft D, & ainfi je fais un rectangle. Multipliant enfuite le nombre 50 par 8, le produit fera E, 400. Il évident que le produit de 8 fois 53, qui eft F, 424. eft égal au produit 24. au produit 400. mis enfemble.

PROPOSITION II.

Ji.

THEOREME

Le quarré d'une ligne, eft égal aux rec- tangles compris fous toute la ligne, & fous fes parties.

le

N propofe la ligne AB, & fon quar ré ABDC. Je dis que quarré Fig. 4. ABDC, est égal à un rectangle compris fous toute la ligne AB,& fous AE,& à un rectangle compris fous AB, & FE, & à un troifiéme compris fous AB, & FB.

Démonftration.

4

Le quarré ABCD eft égal à toutes les parties prifes, enfemble, qui font les rectangles AG, EH, FD. Le premier AG eft compris fous AC égale à AB, & fous AE. Le fecond EH, eft compris fous FH égale à AC, ou AB, & fous FE. Le troifiéme FD, eft compris fous FH égale à AB, & fous FB: & c'eft la même chofe, d'être compris fous une ligne égale à AB, & d'être compris fous AB. Donc le quarré de AB, eft égal aux rectangles compris fous AB & fous AE, EF, FB