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Par les nombres.

Que la ligne AB, reprefente le nombre 9. fon quarré fera 81. Que la partie AE, foit 4. EF, 3. FB. 2. 9. fois

Pl. 1.

Fig. 5.

fois 3.

font 36.

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4. font font 27. 9. fois: 2. font 18. Il eft évident, que 36. 27. & 18. font 81.

9.

USAGE.

J

Cette Propofition fert pour prouver la multiplication; comme auffi pour les équations de l'Algebre. Elle eft comme un Corellaire de la précedente..

PROPOSITION III.

THEOREME.

Si on divife une ligne en deux, le rectan gle compris fous toute la ligne, & fous une de fes parties, eft égal au quarré de ceue méme partie, & au rectangle compris fous les deux parties.

Q

U'ON divife la ligne AB en deux au point C; & qu'on faffe un rectangle compris fous AB,& une de fes parties, par exemple AC, c'eft-à-dire, que AD foit égale à AC; & qu'on acheve le rectangle AF. Il fera égal au quarré de AC, & au rectangle compris fous AC, BC. Tirez la perpendiculaire CE.

Démonftration.

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Le rectangle AF compris fous AB, & fous AD égal à AC, est égal à toutes fes parties, qui font les rectangles AE, CF. Le premier AE eft le quarré de AC, puifque les lignes AC, AD font egales: & le rectangle CF eft compris fous CB, & fous CE, égal à AD, ou AC. Donc le rectangle compris fous AB, AC, est égal au quarré de AC, & à un rectangle compris fous AC, CB.

Par les nombres.

Que AB foit 8. AC, 3. CB, 5. le rectangle compris fous AB, & AC, fera 3. fois 8. ou 24. Le quarré de AC, 3. eft 9. le rectangle compris fous AC, 3. & CB, 5. eft 3. fois 5. ou 15. Il est évident que 15. & 9 font 24.

USAGE.

Cette Propofition fert pour

43. démontrer encore la pratique 40. 3ordinaire de la Multiplica3.tion. Par exemple, fi on veut multiplier le nombre 43. par 120.9.3. ayant divife le nombre 43: en 40. & en 3.3. fois 43. qui font 129. feront autant que 3. fois 3. ou 9. qui eft le quarré de 3. & que 3. fois 40. qui font 120. Ceux qui commencent, ne doivent pas perdre courage,

129.

Pl. I.

s'ils ne conçoivent pas d'abord ces Propofi tions: car elles ne font difficiles que parce qu'on s'imagine, comme j'ai déja dit, qu'elles contiennent quelque grand myftere.

PROPOSITION IV.
THEOREM E.

Si on divife une ligne en deux, le quarré
de foute la ligne fera égal aux deux
quarrez de fes parties & à deux rec-
tangles compris fous ces mêmes parties.

Q&

UE la ligne AB foit divifée en C: Fig. 6. & qu'on faffe fon quarré ABDE, qu'on tire la diagonale EB, & la perpendiculaire CF qui la coupe : & par ce point qu'on tire la ligne GL parallele à AВ. Il eft évident que le quarré ABDE eft égal aux quatre rectangles GF, CL, CG, LF. Les deux premiers font les quarrez de AC & de CB: les deux complemens font compris fous AC, CB.

Demonftration.

Les côtez AE, AB font égaux donc les angles AEB, ABE font demi droits; & à caufe des paralleles GL, AB, les angles des Triangles du quarré GE, ( parla 29. du 1.) feront égaux; comme auffi les

côtez (par la 6. du 1.) Donc GF eft le quarré de AC. Pareillement le rectangle CL, eft le quarré de CB: le rectangle GC, eft compris fous AC, & fous AG égale à BL, ou BC: le rectangle LF est compris fous LD, égal à AČ, & fous FD égal à BC.

Corollaire. Si on tire la diagonale d'un quarré, les rectangles qu'elle coupe font quarrés.

SCOLIE.

On peut énoncer cette Propofition plus géneralement, en difant que, fi fur la ligne AB, divifée comme l'on voudra au point C, l'on décrit une figure de quatre côtez égaux comme ABDE, cette figure fera égale aux deux Rombes GF, CL, décrits fur les deux parties AC, BC, & aux deux parallelogrames CG, FL, décrits de ces deux mêmes parties. Car la demonftration s'en fera de la même façon, pourvu que l'on Suppofe la ligne CF parallele au côté AE, la ligne GL parallele à l'autre côté AB. USAGE.

Cette Propofition nous donne A. 144 la pratique pour trouver la raB. 22. cine quarrée d'un nombre proC. 12. pofe. Que ce foit le nombre A 144. reprefenté par le quarre

AD, & fa racine par la ligne AB. Je

fçai d'ailleurs qu'elle doit avoir deux chif fres. Je m'imagine donc, que cette ligne AB eft divifee en C, que AC reprefente le premier chiffre, & BC, le fecond. Je aherche la racine du premier chiffre du nombre 144. qui eft 100. & je trouve que c'est 10. & faifant fon quarré 100. reprefenté par le quarré GF, je le fouftrais de 144. & il refte 44. pour les rectangles GC, FL & le quarré CL. Mais parce que cette figure d'un Gnomon n'est pas propre,je tranf porte le rectangle FL, en KG, & j'ai un rectangle total KL, c'est-à-dire 44. Je connois auffi prefque tout le côté KB: car AC eft de ro. Donc KC fera de 20. Il faut donc divifer 44. par 20. c'est-à-dire, pour avoir ce divifeur, je double la racine trouvée, je dis combien de fois 20. dans 44. Je le trouve deux fois, pour le côté BL: mais parce que 20. n'étoit pas le côté KB tout entier ; mais feulement KC; ce 2. qui vient au quotient, s'ajoute au divifeur, qui fera 22. Ainfi le trouvant deux fois précifement dans 44. la racine quarrée fera 12. Vous voyez que le quarré 144. est égal au quarré de 10.au quarré de 2. qui eft 4. & à deux fois 20. qui font deux rectangles compris fous 2: & fous

10.

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