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PROPOSITION V.

THEOREМЕ.

Si une ligne eft coupée également, & inégalement, le rectangle compris fous les parties inégales, avec le quarré de la partie du milieu, eft égal au quarré de la moitié de la ligne.

I la ligne AB eft divifée également pl. 1. en C, & inégalement en D ; le rectan- Fig. 7. gle AH, compris fous les fegmens AD, DB, avec le quarré de CD, fera égal au quarré de CB moitié de AB. Achevez la figure, ainfi que vous le voyez les rectangles LG, DI feront des quarrez (par le Čorol. de la 4.) Je prouve que le rectangle AH, compris fous AD, & DH égal à DB, avec le quarré LG, eft égal au quarré CF.

Démonftration.

Le rectangle AL, eft égal au rectangle DF; l'un & l'autre étant compris fous la moitié de la ligne AB, & fous DB, ou DH qui lui eft égal. Ajoûtez à tous deux le rectangle CH; le rectangle AH fera égal au Gromon CBFGHL. Ajoutez encore

Pl. 1.

à tous deux le quarré LG, le rectangle AH, avec le quarré LG fera égal au quarré CF.

Par les nombres.

Que AB foit 10. AC fera 5. & CB aussi. Que CD foit 2. & DB, 3. le rectangle compris fous AD, 7. & BD, 3. c'est-à-dire 21. avec le quarré de CD 2. qui fera 4. fera égal au quarré de CB, 5. qui fera 25. USAGE.

On peut fe fervir très - utilement de ce Fig. 8. Theoréme, pour réfoudre le Problême fuivant, qui fans cela paroîtroit plus difficile. Trouver en nombres les deux côtez d'un rectangle, dont on connoit le contour & Paire. Que le contour du rectangle ABCD, foit de 28. pieds, & l'aire de 48. Prolongez le côté AB vers E, en faisant BE égale à BC; & alors toute la ligne AE fera 14. puifque la fomme des le contour eft 28. Divifez la ligne AE en quatre côtez, où deux également au point F, & alors chacune des deux mouiés AF, EFfera 7.

Cette préparation étant fane, l'on confiderera que puifque le rectangle des deux lignes AB, BE, ou AB, BC, c'est-à-dire 48. avec le quarré de BF, eft égal au quarré 49. de AF, il s'enfuit, que fi de 49. on ôte 48. il restera un. pour le quarré de BF, laquelle par confequent vaudra 1. c'eft

burquoi en ajoutant BF à AF, ou 1. à 7. aura 8. pour le côté AB: & ôtant la éme BF de EF, ou 1. de 7. on aura 6. bur BE, ou pour l'autre côté BC; ce qu'il aloit faire.

PROPOSITION VI.

THEOREM E.

Si on ajoûte une ligne à une autre divisée en deux également, le rectangle compris fous la ligne compofeé des deux, & fous l'ajoutée, avec le quarré de la moitié de ligne divifee, eft égal au quarré d'une ligne compofee de la moitié de la divifée &de toute l'ajoutée,

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Pl. t.

I on ajoute la ligne BD, à la ligne Fig. 9. AB, divifée également en C; le rectangle AN, compris fous AD & fous DN, ou BD, avec le quarré de CB, est égal au quarré de CD. Faites le quarré de CD, & ayant tiré la diagonale FD, tirez BG parallele à FC, qui coupe FD, au point H, par lequel paffe la ligne HN parallele à AD: KG fera le quarré de BC; & BN, celui de BD,

Pl. I. Fig. 10.

Démonftration.

Les rectangles AK, CH, fur les bases égales AC, CB, font égaux (par la 36. du 1.) Les complemens CH, HE font égaux (par la 43. du 1.) Donc les rectan-i gles AK, HE font égaux. Ajoutez à tous deux le rectangle CN, & le quarré KG: les rectangles AK, & CN, c'est-à-dire le rectangle AN avec le quarré KG, sera égal aux rectangles CN, HE & au quarré KG, c'est-à-dire au quarré CE.

Par les nombres..

Que AB foit de 8, parties; AC, de 4. CB, de 4. BD, de 3. ainfi AD fera de 11. Il est évident que le rectangle AN, qui eft trois fois II. c'eft-à-dire 33. avec le quarré de KG 16. qui font 49. eft égal au quarré de CD, 7. qui eft 49. car 7. fois 7. font 49.

USAGE.

Maurolycus mefure toute la terre fur une feule obfervation, en fe fervant de cette Propofition. Il veut qu'on obferve du fommet A, d'une montagne connue felon fa hauteur l'angle BAC, que fait la ligne AB qui touche la furface de la terre en B, avec la ligne AC qui paffe par le centre: & que dans le Triangle ADF, la ligne DF étant une touchante; fçachant l'angle A, & l'an gle droit ADF, on trouve par la Trigono

metrie

metrie les côtez AF, FD; parce qu'il eft facile de démontrer que FB, FD font égales, on connoîtra la ligne AB & Son quarré. Or nous démontrons par la Propofition précedente, que la ligne ED étant divifee en deux également au point C, & y ayant ajoûté DA, le rectangle compris fous EA, & fous AD, avec le quarré CD ; ou CB, eft égal au quarré de AC; & l'angle ABC étant droit, (comme on le prouve au troifiéme Livre) le quarre de AC, eft égal aux quarrez de AB, BC. Donc le rectangle fous AE, AD, avec le quarré de BC, eft égal aux quarrez AB, BC. Oftez de côté & d'autre le quarré de BC: le rectangle fous AE, AD fera égal au quarré de AB. Divifez donc le quarré de AB que vous connoiffez, par la hauteur de la. montagne, qui eft AD le quotient fera la ligne AE, de laquelle il faut fouftraire la hauteur de la montagne : & vous aurez DE, le diametre de la terre.

Nous nous fervons de la même Propofition dans l'Algebre; comme, pour démontrer la pratique dont on fe fert, pour trouver la racine d'un quarré égal à un nombre, plus quelques racines. Les deux qui fuivent, fervent aussi pour prouver d'autres femblables pratiques.

On peut auffi par le moyen de cette Pre

H

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